若x=2cosA y=sinA 则M=x^2+2xy+4y^2+x+2y的最大值为A.6+2根号2 B.6-2根号2C.8+2根号2 D.8-2根号2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 14:00:04
若x=2cosA y=sinA 则M=x^2+2xy+4y^2+x+2y的最大值为A.6+2根号2 B.6-2根号2C.8+2根号2 D.8-2根号2
若x=2cosA y=sinA 则M=x^2+2xy+4y^2+x+2y的最大值为
A.6+2根号2 B.6-2根号2
C.8+2根号2 D.8-2根号2
若x=2cosA y=sinA 则M=x^2+2xy+4y^2+x+2y的最大值为A.6+2根号2 B.6-2根号2C.8+2根号2 D.8-2根号2
选A
M=x^2+2xy+4y^2+x+2y＝4cosa^2＋4cosasina＋4sina^2＋2cosa＋2sina
＝4cosasina＋2（cosa＋sina）＋4
（cosa＋sina）^2=1+2cosasina
（cosa＋sina）=根号1+2cosasina
带入得4+4cosasina+2根号1+2cosasina
cosa^2＋sina^2=1>=2cosasina
cosasina
M=x^2+2xy+4y^2+x+2y＝4cosa^2＋4cosasina＋4sina^2＋2cosa＋2sina
＝4cosasina＋2（cosa＋sina）＋4
由平均数关系知
加权平均数>=算术平均数>=几何平均数
所以2cosasina<=sina^2＋cosa^2=1，
cosa＋sina<=2√[(sina^2＋cosa^2)/2]=√...
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M=x^2+2xy+4y^2+x+2y＝4cosa^2＋4cosasina＋4sina^2＋2cosa＋2sina
＝4cosasina＋2（cosa＋sina）＋4
由平均数关系知
加权平均数>=算术平均数>=几何平均数
所以2cosasina<=sina^2＋cosa^2=1，
cosa＋sina<=2√[(sina^2＋cosa^2)/2]=√2 当且仅当sina＝cosa是成立
所以M<=2+2*√2+4=6+2√2
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