在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,an,使这n+2个数成等比数列；又在1与2间插入n个正数b1,b2,b3,……,bn,使这n+2个数成等差数列；记An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.(1)求数列{An}和{Bn}的通项公式An=2^n/2(即2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 20:37:29
在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,an,使这n+2个数成等比数列；又在1与2间插入n个正数b1,b2,b3,……,bn,使这n+2个数成等差数列；记An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.(1)求数列{An}和{Bn}的通项公式An=2^n/2(即2
在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,an,使这n+2个数成等比数列；又在1与2间插入n个正数b1,b2,b3,……,bn,使这n+2个数成等差数列；记An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.
(1)求数列{An}和{Bn}的通项公式
An=2^n/2(即2的n/2次方)
Bn=3n/2 【我求的】
（2）当n≥7时,比较An与Bn的大小,并说明理由.
在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,an,使这n+2个数成等比数列；又在1与2间插入n个正数b1,b2,b3,……,bn,使这n+2个数成等差数列；记An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.(1)求数列{An}和{Bn}的通项公式An=2^n/2(即2
这道题我用的是解方程的方法,没有用到图像,比较简单,做法如下：
首先我们先将 n=7 代入到 An 和 Bn 中,比较大小,结果是 An>Bn 此时心里就可以大概确定下An的值应该比较大,然后我们证明,如下：
作差法：An-Bn=2^（n/2）- 3n/2 不妨设 An-Bn=c 则 An=Bn+c （这样做是为下面的求解方便,避免讨论）
等式左右两边 平方可得 2^n = c^2 + 9(n^2)/4 +3nc
设 f(c)= + c^2 + 9(n^2)/4 +3nc -2^n (因为我们是在求c的值,所以其他都看作常数)
不难看出 f(c) 是关于 c的一元二次方程,
因为 Δ=4*(2^n) (化简后)
此时 n>7 故 f(c)>0 无解,所以 c>0 恒成立,故 An>Bn 恒成立 （其实,n取任何值An>Bn都恒成立的）
如图所示： （1）n=7时，An=64，Bn=10.5，An>Bn （2）B之后An的增大速度远大于Bn 所以，An>Bn
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