阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法：延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE（或
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 20:53:29
阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法：延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE（或
阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题
如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法：延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）,把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8,则1＜AD＜4．
感悟：解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：
受到（1）的启发,请你证明下面命题：如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明；
（2）问题拓展：
如图3,在四边形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明．
阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法：延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE（或
①延长FD到G,使得DG=DF,连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD）,
∴CF=BG,DF=DG,
∵DE⊥DF,
∴EF=EG．
在△BEG中,BE+BG＞EG,即BE+CF＞EF
②若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°,
由①知∠FCD=∠DBG,EF=EG,
∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,
∴BE2+CF2=EF2
（2）将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG．
∵∠C+∠ABD=180°,∠4=∠C,
∴∠4+∠ABD=180°,
∴点E、B、G在同一直线上．
∵∠3=∠1,∠BDC=120°,∠EDF=60°,
∴∠1+∠2=60°,故∠2+∠3=60°,即∠EDG=60°
∴∠EDF=∠EDG=60°,
∵DE=DE,DF=DG,
∴△DEG≌△DEF,
∴EF=EG=BE+BG,即EF=BE+CF