如图,已知一个正方形ABCD的边长为a.现在从它的四个顶点A,B,C,D分别向点B,C,D,A的方向截取相等的线段AP,BQ,CR,DS,连接PQ,QR,RS,SP,得到正方形PQRS.要使这个正方形的面积最小,所截取的四条线段每条应
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 11:39:47
如图,已知一个正方形ABCD的边长为a.现在从它的四个顶点A,B,C,D分别向点B,C,D,A的方向截取相等的线段AP,BQ,CR,DS,连接PQ,QR,RS,SP,得到正方形PQRS.要使这个正方形的面积最小,所截取的四条线段每条应
如图,已知一个正方形ABCD的边长为a.现在从它的四个顶点A,B,C,D分别向点B,C,D,A的方向截取相等的线段AP,BQ,CR,DS,连接PQ,QR,RS,SP,得到正方形PQRS.要使这个正方形的面积最小,所截取的四条线段每条应该多长?
如图,已知一个正方形ABCD的边长为a.现在从它的四个顶点A,B,C,D分别向点B,C,D,A的方向截取相等的线段AP,BQ,CR,DS,连接PQ,QR,RS,SP,得到正方形PQRS.要使这个正方形的面积最小,所截取的四条线段每条应
设AS=DR=CQ=BP=X,
则AP=BQ=CR=DS=a-X,
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴ΔAPS≌ΔDSR≌ΔCRQ≌ΔBQP,
∴S四边形PQRS=S正方形ABCD-4SΔAPS
=a^2-4*1/2X(a-X)
=a^2-2a+2X^2
=2(X-a/2)^2+1/2a^2
∴当X=a/2时,S最小=1/2a^2.
∵AP=BQ，∴PB+BQ=a
设BQ=x，则PB=a-x
由勾股定理得xˆ2+(a-x)ˆ2=PQˆ2
经整理有2xˆ2-2ax+aˆ2=PQˆ2
二次函数2xˆ2-2ax+aˆ2，在x=a/2时有最小值。
即x=a/2时PQˆ2有最小值，而PQˆ2即为正方...
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∵AP=BQ，∴PB+BQ=a
设BQ=x，则PB=a-x
由勾股定理得xˆ2+(a-x)ˆ2=PQˆ2
经整理有2xˆ2-2ax+aˆ2=PQˆ2
二次函数2xˆ2-2ax+aˆ2，在x=a/2时有最小值。
即x=a/2时PQˆ2有最小值，而PQˆ2即为正方形PQRS的面积
所以所截取的四条线段每条长为a/2时正方形PQRS的面积最小。
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