射影的定义及用法
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 05:47:30
射影的定义及用法
射影的定义及用法
射影的定义及用法
射影定理(right triangle altitude theorem)是指在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项.直角三角形射影定理,又称“欧几里德定理”,定理内容是：直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
公式: 如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下：
(1)(BD)²=AD·DC, (2)(AB)²=AD·AC , (3)(BC)²=CD·CA.
等积式 (4)AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明) (5)(AB)²/(BC)²=AD/CD
直角三角形射影定理的证明：(主要是从三角形的相似比推算来的)
一、在△BAD与△BCD中,∵∠ABD+∠CBD=90°,且∠CBD+∠C=90°,
射影定理简图(几何画板)∴∠ABD=∠C,
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD²=AD·DC.其余同理可得可证
有射影定理如下：
AB²=AD·AC,BC²=CD·CA
两式相加得：
AB²+BC²=(AD·AC)+(CD·AC) =(AD+CD)·AC=AC² .
用勾股证射影
∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,
∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.
故AD²=BD×CD.
运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,
AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理.同样也可以利用三角形面积知识进行证明.