微积分 悖论 求大神解释（要给出具体例子）请勿回答“有理数与无理数不能一一对应”，我问的根本就不是这个！
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 14:08:15
微积分 悖论 求大神解释（要给出具体例子）请勿回答“有理数与无理数不能一一对应”，我问的根本就不是这个！
微积分 悖论 求大神解释（要给出具体例子）
请勿回答“有理数与无理数不能一一对应”，我问的根本就不是这个！
微积分 悖论 求大神解释（要给出具体例子）请勿回答“有理数与无理数不能一一对应”，我问的根本就不是这个！
这个说法是错误的.
前面说的都没错,一直到”所以这些区间盖住了所有
的有理数也就盖住了所有的无理数“这句话上.
这里出现了一个逻辑错误,小明要说明任意无理数被盖住
那么你需要说明的是对任意无理数b,存在一个n,使得
盖住an的那个长度为ε/2^n的区间盖住b.而不是说离b任意
近都有有理数所以b一定能被盖住.
举一个不太一样但比较好理解的例子,比如一个数列{1/n}
显然有1/n->0.现在我用区间(1/(n+1/2),1/(n-1/2))来覆盖1/n
那么我们能说因为离0任意近都有该数列中的数,所以盖住
这整个数列的这些区间的并一定能盖住0吗?显然这是不行的.
因为不管n有多大,0都不属于任何区间(1/(n+1/2),1/(n-1/2)).
再回到这个题本身,因为对固定n时,总有|b-an|>0,
这是个定值,而此时如果ε/2^n<|b-an|,那么长度为ε/2^n的那个
区间是盖不住b的,那么此时小明还需要找离b更近的有理数am,
但此时小明同样排除不了ε/2^m<|b-am|的可能性,所以小明这样
永远无法说明b一定能被某个盖住an的区间盖住.
当然这仅在ε很小的时候,小明说明不了能盖住所有的无理数
但若ε很大,比如ε=4,那么在以a1为中点,长度为4/2=2的区间
就已经盖住了整个(0,1)区间了,显然也盖住了里面所有的无理数.
如果你是学数学分析的，那么有一道习题是：证明，无理数比有理数多。
所以，无理数是比有理数多的。
也就是存在足够小区间，使得无理数的周围足够小区间内，没有有理数存在。任意一个无理数，不是可以被一个由有理数构成的序列无限地逼近么？（考虑它的十进制展开。）那么就不会有你说的这足够小区间。...
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如果你是学数学分析的，那么有一道习题是：证明，无理数比有理数多。
所以，无理数是比有理数多的。
也就是存在足够小区间，使得无理数的周围足够小区间内，没有有理数存在。
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错误，误以为有理数和无理数一一对应，事实上无理数是不可数的
谁告诉你有理数比无理数多的……
难道不是无理数的势＞有理数的势么……