怎样用初中知识推导出等比数列求和公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 14:42:46
怎样用初中知识推导出等比数列求和公式
怎样用初中知识推导出等比数列求和公式
怎样用初中知识推导出等比数列求和公式
设等比数列公比为k,第i项为a{i} ；
S{N}表前n项和
于是
S{N}=a{1}+k*a{1}+(k^2)*a{1}+……+[k^(k-1)]*a{1}
kS{N}= k*a{1}+(k^2)*a{1}+……+[k^(k-1)]*a{1}+(k^k)*a{1}
下式减上式,得(k-1)S{N}=a{1}*(k^k-1)
当k不等于1时,将左边的（k-1）除过去就可以了,
得S{N}=a{1}*(k^k-1)/(k-1)
=[a{n+1}-a{1}]/(k-1)；
当k=1时,得S{N}=n*a{1}
等比公式的通项公式是比较容易理解的，因为当公比是q的时候，a[2]=a[1]q，a[3]=a[2]q=a[1]q*q=a[1]q^2，依次类推就得到：a[n]=a[1]q^(n-1)。这样S[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]=a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)]。那么怎样用初中知识推导出等比数列求和公式呢？
这里，首先要讲一下一个多项式的乘法公式。...
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等比公式的通项公式是比较容易理解的，因为当公比是q的时候，a[2]=a[1]q，a[3]=a[2]q=a[1]q*q=a[1]q^2，依次类推就得到：a[n]=a[1]q^(n-1)。这样S[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]=a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)]。那么怎样用初中知识推导出等比数列求和公式呢？
这里，首先要讲一下一个多项式的乘法公式。我们知道：(1-x)(1+x)=1-x^2，(1-x)(1+x+x^2)=1-x^3，依次类推，就有：(1-x)[1+x+x^2+...+x^(n-1)]=1-x^n。其实这个一般化的公式也很好理前一个因式只有两项，当用1去乘后一因式的时候，后一个因式保持不变，当用-x去乘后一个因式的时候，积的符号正好相反，而积的绝对值正好与后一因式向后错开了一位。这样除了1和-x^n没有对应的互为相反的值以外，中间的值全部正负抵消了。这么一个多项式乘法的一般化公式，对于初中的学生来讲应该还是可以理解的，只是初步接触一个项数较多，以至于要用省略号来表示的因式时，稍感突兀一点罢了。
有了这么一个多项式乘法的一般化公式，再来看等比数列求和公式，那就是水到渠成了：
S[n]
=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]
=a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)]
当q=1时：S[n]=na[1]
当q≠1时：
S[n]
=a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)](1-q)/(1-q)
=a[1](1-q^n)/(1-q)
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