已知抛物线y^2=4x的准线与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1交于AB两点,点F为抛物线焦点 若△FAB是直角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 09:18:42
已知抛物线y^2=4x的准线与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1交于AB两点,点F为抛物线焦点 若△FAB是直角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是
已知抛物线y^2=4x的准线与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1交于AB两点,点F为抛物线焦点 若△FAB是直角三角形,
则双曲线的离心率的取值范围是
已知抛物线y^2=4x的准线与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1交于AB两点,点F为抛物线焦点 若△FAB是直角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是
由抛物线y^2＝4x,得：抛物线的准线方程是：x＝－1,抛物线的焦点F的坐标是（1,0）.
令x^2/a^2－y^2/b^2＝1中的x＝－1,得：1/a^2－y^2/b^2＝1,∴y^2/b^2＝1－1/a^2,
∴y^2＝b^2－b^2/a^2,∴y＝√（b^2－b^2/a^2）,或y＝－√（b^2－b^2/a^2）.
∴A、B的坐标分别是（－1,－√（b^2－b^2/a^2））、（－1,√（b^2－b^2/a^2））.
∴向量FA＝（－2,－√（b^2－b^2/a^2））,向量FB＝（－2,√（b^2－b^2/a^2））.
∵△FAB是Rt△,显然有：FA＝FB,∴FA⊥FB,∴向量FA·向量FB＝0,
∴4－（b^2－b^2/a^2）＝0,∴b^2－b^2/a^2＝4.
∵e＝c/a,∴e^2＝c^2/a^2,∴c^2＝（ae）^2,∴a^2－b^2＝（ae）^2,
∴b^2＝a^2－（ae）^2,∴a^2－（ae）^2－［a^2－（ae）^2］/a^2＝4,
∴a^2－（ae）^2－（1－e^2）＝4,∴（1－e^2）a^2＝5－e^2,
∴a^2＝（5－e^2）/（1－e^2）＞0,又e＞1,∴5－e^2＜0,∴e^2＞5,∴e＞√5.
∴满足条件的双曲线离心率的取值范围是（√5,＋∞）.