梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证：PQ必过一定点梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q，PQ连线平分梯形面积，用解析法求证：PQ必过一定点。
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 06:47:36
梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证：PQ必过一定点梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q，PQ连线平分梯形面积，用解析法求证：PQ必过一定点。
梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证：PQ必过一定点
梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q，PQ连线平分梯形面积，用解析法求证：PQ必过一定点。
梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证：PQ必过一定点梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q，PQ连线平分梯形面积，用解析法求证：PQ必过一定点。
PQ过梯形两底中点连线的中点.证明如下：
令AB、CD的中点分别为E、F,再令EF的中点为G.
∵AE＝BE,∴△AEF和△BEF是等底同高的三角形,
∴△AEF的面积＝△BEF的面积.
∵BF＝CF,∴△ADF和△BCF是等底同高的三角形,
∴△ADF的面积＝△BCF的面积.
∴△AEF的面积＋△ADF的面积＝△BEF的面积＋△BCF的面积,
即：ADFE的面积＝BCEF的面积,可见EF平分梯形ABCD的面积.
过G任作一直线分别交AB、CD于M、N.
∵ME∥FN,∴∠MEG＝∠NFG,显然,∠MGE＝∠NGF,而EG＝FG,∴△MEG≌△NFG,
∴△MEG的面积＝△NFG的面积,
∴ADFE的面积－△MEG的面积＋△NFG的面积＝BCEF的面积－△NFG的面积＋△MEG的面积,
即：ADNM的面积＝BCNM的面积,可见MN正是平分梯形面积的直线PQ.
∴平分梯形面积的PQ过点梯形两底中点连线的中点G.
考虑左半边梯形APQC，它的面积是梯形ABCD的一半，因为梯形面积=（上底+下底）*高/2，所以上底AP+下底CQ为定值。假设AB中点是M，CD中点是N，比较梯形APQC和梯形AMNC可知（理解为PQ由MN这个位置移动到现在的位置）PM=NQ。假设MN与PQ交于O，因为AB平行于CD，所以角AMO=角OND，又对顶角相等，由角角边得△PMO∽△QNO，且MO=NO。即PQ必定经过MN中点O。...
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考虑左半边梯形APQC，它的面积是梯形ABCD的一半，因为梯形面积=（上底+下底）*高/2，所以上底AP+下底CQ为定值。假设AB中点是M，CD中点是N，比较梯形APQC和梯形AMNC可知（理解为PQ由MN这个位置移动到现在的位置）PM=NQ。假设MN与PQ交于O，因为AB平行于CD，所以角AMO=角OND，又对顶角相等，由角角边得△PMO∽△QNO，且MO=NO。即PQ必定经过MN中点O。
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连接对角线 必过对角线交点