立体几何证明 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC=2,PC的中点为E.⑴求PB和平面PAD所成角的大小；⑵证明AE⊥平面PCD;⑶求三棱锥B-AEC的体积.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 14:36:33
立体几何证明 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC=2,PC的中点为E.⑴求PB和平面PAD所成角的大小；⑵证明AE⊥平面PCD;⑶求三棱锥B-AEC的体积.
立体几何证明
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC=2,PC的中点为E.
⑴求PB和平面PAD所成角的大小；
⑵证明AE⊥平面PCD;
⑶求三棱锥B-AEC的体积.
立体几何证明 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC=2,PC的中点为E.⑴求PB和平面PAD所成角的大小；⑵证明AE⊥平面PCD;⑶求三棱锥B-AEC的体积.
楼上答非所问
分析：
（1）先找出PB和平面PAD所成的角,再进行求解即可；
（2）可以利用线面垂直根据二面角的定义作角,再证明线面垂直；
（3）利用等体积转化求解,V(B-AEC)=V(E-ABC)．
在四棱锥P-ABCD中,
因PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,
故PA⊥AB．
又AB⊥AD,PA∩AD=A,
从而AB⊥平面PAD,
故PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．
在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（2）证明：在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以CD⊥PA．
因为CD⊥AC,PA∩AC=A,
所以CD⊥平面PAC．
又AE⊂平面PAC,所以AE⊥CD．
由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA．
因为E是PC的中点,所以AE⊥PC．
又PC∩CD=C,
所以AE⊥平面PCD．
（3）取AC的中点F,连结EF,则EF∥PA
由PA⊥底面ABCD可得,EF⊥底面ABCD
所以EF即为三棱锥E-ABC的高,EF=1/2×PA=1
△ABC的面积为S=1/2×AB×ACsin∠ABC=√3
V(B-AEC)=V(E-ABC)=1/3×√3×1=√3/3
1）
∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD
2）
∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥CD
又∵AC⊥CD
∴CD⊥平面PAC
∴CD⊥AE
∵AB=BC=2，∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=2
∴AP=AC
又∵E是PC的中点
全部展开
1）
∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD
2）
∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥CD
又∵AC⊥CD
∴CD⊥平面PAC
∴CD⊥AE
∵AB=BC=2，∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=2
∴AP=AC
又∵E是PC的中点
∴AE⊥PC
∴AE⊥平面PCD
3）
过E做AC的垂线，垂足为O
可以算出EO=1/2*PA=1
且EO//PA，
∴EO⊥平面ABC
∵△ABC的面积为√3
∴三棱锥B-AEC的体积=三棱锥E-ABC的体积=1/3*√3*1=1/3*√3
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