四边形abcd中,bc＞ba,ad=dc,bd平分∠abc,dh垂直bc,求证：bh=2分之1（ab+bc）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 11:54:42
四边形abcd中,bc＞ba,ad=dc,bd平分∠abc,dh垂直bc,求证：bh=2分之1（ab+bc）
四边形abcd中,bc＞ba,ad=dc,bd平分∠abc,dh垂直bc,求证：bh=2分之1（ab+bc）
四边形abcd中,bc＞ba,ad=dc,bd平分∠abc,dh垂直bc,求证：bh=2分之1（ab+bc）
题目
四边形ABCD中,BC＞BA,AD=DC,BD平分∠ABC,DH垂直BC,求证：HB=(AB+BC)/2
解析：
HB=(AB+BC)/2,那么,以下的辅助线作完后,只要证明DH是BE的中点即可.
证明：
过D作DF=DC,交BC于F点；
延长BC到E点,使CE=AB,连接DE；
过D作DG⊥AB,交AB延长线于G点
∵ BD平分∠ABC,DG⊥AB,DH⊥BC
∴ ∠ABD=∠CBD=(1/2)×∠ABC
DG=DH
∠DGB=∠DHB=Rt∠=90°
∵ DF=DC,AD=DC,已求得：DG=DH
∴ △AGD ≌△FHD 【两个直角三角形的斜边和一直角边相等,这两个三角形全等】
∠ADG=∠FDH
同理：
△BGD ≌△BHD 【两个直角三角形的斜边和一直角边相等,这两个三角形全等】
∠GDB=∠HDB
∵ 已求得：∠ADG=∠FDH,∠GDB=∠HDB
∴ ∠GDB-∠GDB=∠HDB-∠FDH,即：
∠ADB=∠FDB
∵ AD=DC,∠ADB=∠FDB ,△ADB 与△FDB共边BD
∴ △ADB ≌△FDB 【“边角边”判定全等三角形】
AB=FB
∵ DF=DC,AD=DC,DH⊥BC
∴ AD=DC=DF
DH为等腰△DCF的中线
∠DFH=∠DCH 可推导出：∠DCE=∠DFB
∵ DC=DF,∠DCE=∠DFB,CE=AB ,AB=FB
∴ △CDE ≌△FDB 【“边角边”判定全等三角形】
BD=DE,推导出：△BDE为等腰三角形
∵ DH⊥BC,已求得：△BDE为等腰三角形
∴ DH为 等腰△BDE的中线,
BH=HE=BE/2
∵ CE=AB,BE=BC+CE
∴ BH=(BC+CE)/2
=(BC+AB)/2