已知,如图,△ABC中,∠C=90度,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE‖AB交BC于E,求证CT=BE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 02:51:35
已知,如图,△ABC中,∠C=90度,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE‖AB交BC于E,求证CT=BE
已知,如图,△ABC中,∠C=90度,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE‖AB交BC于E,求证CT=BE
已知,如图,△ABC中,∠C=90度,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE‖AB交BC于E,求证CT=BE
方法一：作DF‖BC交AB于F,则
因为∠AFD=∠B=∠ACD,AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边
所以△AFD≌△ACD,AF=AC
因为AF=AC,AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边
所以△ACT≌△AFT,TF⊥AF,TF‖CM
因为DF‖CT‖BE,TF‖CD,DE‖BF
所以四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形
所以CT=DF=BE
方法二：作TF⊥AB于F,则
因为∠CDT=∠ADM=90°-∠DAM=90°-∠DAC=∠CTD
所以∠CDT =∠CTD ,CT=CD
因为AT为∠BAC的角平分线,TF⊥AB
所以CT=TF=CD
因为DE‖BF,TF‖CD,TF=CD
所以△CDE≌△TFB,CE=TB
所以CE-TE=TB-TE,CT=BE
证明：过T作TF⊥AB于F，
∵AT平分∠BAC，∠ACB=90°，
∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠ACB=90°，CM⊥AB，
∴∠ADM+∠DAM=90°，∠ATC+∠CAT=90°，
∵AT平分∠BAC，
∴∠DAM=∠CAT，
∴∠ADM=∠ATC，
∴∠CDT=∠CTD，
∴CD=CT，
∵CM⊥AB，DE∥AB，
∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，
在△CDE和△TFB中，∠B=∠DEC∠CDE=∠TFB=90°CD=TF
∴△CDE≌△TFB（AAS），
∴CE=TB，
∴CE-TE=TB-TE，
即CT=BE．
作TF⊥AB于F,则
∵ ∠CDT=∠ADM=90°-∠DAM=90°-∠DAC=∠CTD
∴ ∠CDT =∠CTD ,CT=CD
∵ AT为∠BAC的角平分线，TF⊥AB
∴ CT=TF=CD
∵ DE‖BF,TF‖CD,TF=CD
∴ △CDE≌△TFB,CE=TB
即 CE-TE=TB-TE,CT=BE
额
做TP⊥AB,连接DP 因为AT平分∠BAC △ACT与△APT 所以CT=TP 所以四边形CTBD为菱形 ==> CT=DP且DP‖CT‖EB 因为ED‖BP ==>四边形 DPEB为平行四边形==>DP=EB 由CT=DP=BE 得证CT=BE
1楼OK