已知ABCD-A1B1C1D1是底面为菱形的直四棱柱,P是棱DD1的中点,∠BAD=60°,底面边长为2,若PB与平面ADD1A1成45°角,求点A1到平面ACP的距离．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 15:27:21
已知ABCD-A1B1C1D1是底面为菱形的直四棱柱,P是棱DD1的中点,∠BAD=60°,底面边长为2,若PB与平面ADD1A1成45°角,求点A1到平面ACP的距离．
已知ABCD-A1B1C1D1是底面为菱形的直四棱柱,P是棱DD1的中点,∠BAD=60°,底面边长为2,若PB与平面ADD1A1成45°角,求点A1到平面ACP的距离．
已知ABCD-A1B1C1D1是底面为菱形的直四棱柱,P是棱DD1的中点,∠BAD=60°,底面边长为2,若PB与平面ADD1A1成45°角,求点A1到平面ACP的距离．
设A1C1∩B1D1=O1,
因为A1C1//AC
所以,A1C1//面ACP
所以A1到面ACP的距离就等于O1到面ACP的距离等于O1到PB的距离,①
取AD点M点,连结MB,则MB⊥AD,==>MB⊥面AA1D1D;
因为PB与平面ADD1A1成45°角
所以,PM=MB=√3
PD=√3-1=√2；DD1=2√2
在三角形O1PB中,O1B=√1+(2√2)^2=3
O1P=√3
PB=√6
所以O1P⊥PB;由①知,O1P的长度（√3）为所求,
所以A1到平面ACP的距离为√3
设AC∩BD=O。
BE⊥AD于E,连PE.
在Rt△BED中得BE=√3，
∵PB与平面ADD1A1成45°角.
∴PE=√3.
在Rt△PDE中得PB=√2，
在Rt△PDO中得PO=√3
点C到面ADD1A1的距离=BE=√3.
∴S△ACP=1/2▪2√3·√3=3,S△APA1=1/2▪S矩形ADD1...
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设AC∩BD=O。
BE⊥AD于E,连PE.
在Rt△BED中得BE=√3，
∵PB与平面ADD1A1成45°角.
∴PE=√3.
在Rt△PDE中得PB=√2，
在Rt△PDO中得PO=√3
点C到面ADD1A1的距离=BE=√3.
∴S△ACP=1/2▪2√3·√3=3,S△APA1=1/2▪S矩形ADD1A1=2√2
∵VA1-ACP=VC-APA1
∴1/3·S△ACP▪h=1/3▪S△APA1▪BE
得h=2√6/3
故点A1到平面ACP的距离为2√6/3。
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