如图已知,在平行四边形ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF相交于H,BF、AD的延长线相交于G.求证：（1）AB=BH；（2）AB^2=GA·HE；（3）若AB=10,BD=8√2,求FH的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 13:29:21
如图已知,在平行四边形ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF相交于H,BF、AD的延长线相交于G.求证：（1）AB=BH；（2）AB^2=GA·HE；（3）若AB=10,BD=8√2,求FH的长.
如图已知,在平行四边形ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF相交于H,BF、AD的延长线相交于G.
求证：（1）AB=BH；
（2）AB^2=GA·HE；
（3）若AB=10,BD=8√2,求FH的长.
如图已知,在平行四边形ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF相交于H,BF、AD的延长线相交于G.求证：（1）AB=BH；（2）AB^2=GA·HE；（3）若AB=10,BD=8√2,求FH的长.
证明：（1）∵∠DBC=45°,DE⊥BC
∴BE=DE
∵DE⊥BC,BF⊥CD
∴∠HBE=∠CDE,且∠BEH=∠DEC
∴△BEH≌△DEC
∴BH=DC
又由平行四边形ABCD知AB=DC
∴AB=BH
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠G=∠HBE,AB‖CD
∵BF⊥CD,BF、AD的延长线相交于G
∴BG⊥AB
又∵DE⊥BC
∴∠ABG=∠HEB
∴△ABG∽△HEB
∴AG／HB＝AB／HE
∵AB=BH
∴AB²=GA·HE
（3）∵AB=10（已知）,AB=BH,△BEH≌△DEC（已证）
∴DC＝BH＝10
∵∠DBC=45°,DE⊥BC,BD=8√2
∴DE＝BE＝8
由DE⊥BC知△BEH为Rt△,
∴HE＝6 ,从而DH＝DE－HE＝2
又△BEH≌△DEC
∴EC＝EH＝6
∵DE⊥BC,BF⊥CD,又∠HDF=∠CDE
∴△HDF∽△CDE
∴FH／EC＝DH／DC
∴FH＝EC×DH／DC＝6×2／10＝1.2