如图,在三角形abc中,cd垂直ab,d是垂足,ae平分角cab交cd于点f,eg垂直ab于点g,求证,四边形cfge是菱形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 02:17:29
如图,在三角形abc中,cd垂直ab,d是垂足,ae平分角cab交cd于点f,eg垂直ab于点g,求证,四边形cfge是菱形
如图,在三角形abc中,cd垂直ab,d是垂足,ae平分角cab交cd于点f,eg垂直ab于点g,求证,四边形cfge是菱形
如图,在三角形abc中,cd垂直ab,d是垂足,ae平分角cab交cd于点f,eg垂直ab于点g,求证,四边形cfge是菱形
条件不足!
E点位置没有指出,不论E点在哪里,要求∠ACE=90°.当∠C=90°时,E点在BC上.
反推即可得此条件：
若四边形CFGE为菱形,则CE=CE,∠CEF=∠CFE
∠CFE=∠AFD,∠AFD+∠FAD=90°（CD⊥AB） ∠FAD=∠FAC (AE平分∠CAB）
∴ ∠CEF+∠CAE=∠CFE+∠FAD=∠AFD+∠FAD=90°
∴ ∠ACE=180°-∠CEF-∠CAE=90° 故 要使四边形CFGE为菱形,必须∠ACE=90°
假设题目中增加条件 ∠ACE=90° （不论E是否在BC上,若E在BC上,∠C=∠ACE=90°）
证明：
∵ AE是∠CAB的角平分线,EG、EC是点E到两边的距离,EG=EC
∴ △AEG≌△AEC
则 AC=AG
∴△AFG≌△AFC(边角边）
则 CF=FG
又∵ ∠CEA+∠CAE=90°
∠CFE+∠CAE=∠AFD+∠FAD=90°
∴∠CEA=∠CFE
则 CF=CE
∴ CF=CE=FG=GE
四边形CFGE为菱形.
美图
∵ AE是∠CAB的角平分线，EG、EC是点E到两边的距离, EG=EC
∴ △AEG≌△AEC
则 AC=AG
∴△AFG≌△AFC(边角边）
则 CF=FG
又∵ ∠CEA+∠CAE=90°
∠CFE+∠CAE=∠AFD+∠FAD=90°
∴∠CEA=∠CFE
则 CF=CE
∴ CF=CE=FG=GE
四边形CFGE为菱形。