已知Sn为数列｛an｝的前n项和,a1=1,Sn=n2（an）,求数列｛an｝的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 07:33:00
已知Sn为数列｛an｝的前n项和,a1=1,Sn=n2（an）,求数列｛an｝的通项公式
已知Sn为数列｛an｝的前n项和,a1=1,Sn=n2（an）,求数列｛an｝的通项公式
已知Sn为数列｛an｝的前n项和,a1=1,Sn=n2（an）,求数列｛an｝的通项公式
an=Sn-S(n-1)=n^2(an)-(n-1)^2[a(n-1)]
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
3a2=a1
4a3=2a2
5a4=3a3
.
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
左右同时相加得到：
a2+a3+a4+.+a(n-1)+(n+1)an=a1
即：a1+a2+a3+.+an=2a1-n*an=sn=n^2an
将a1=1代入并解出an得：
an=2/[n(n+1]
经检验当n=1时,an也成立.
所以数列的通项为：an=2/[n(n+1)]
S1=a1=1/2。n>=2时，有：
Sn=n^2*an-n^2*(n-1)=n^2*(Sn-S(n-1))-n^2*(n-1)
(n^2-1)Sn=n^2*S(n-1)+n^2*(n-1) 等式两边同除n(n-1)
[(n+1)/n]Sn=[n/(n-1)]S(n-1)+n
[n/(n-1)]S(n-1)=[(n-1)/(n-2)]S(n-2)...
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S1=a1=1/2。n>=2时，有：
Sn=n^2*an-n^2*(n-1)=n^2*(Sn-S(n-1))-n^2*(n-1)
(n^2-1)Sn=n^2*S(n-1)+n^2*(n-1) 等式两边同除n(n-1)
[(n+1)/n]Sn=[n/(n-1)]S(n-1)+n
[n/(n-1)]S(n-1)=[(n-1)/(n-2)]S(n-2)+(n-1)
…………
(4/3)S3=(3/2)S2+3
(3/2)S2=2S1+2=1+2
以上各式相加：[(n+1)/n]Sn=n+(n-1)+…+3+2+1=n(n+1)/2
Sn=n^2/2，代入Sn=n^2*an-n^2*(n-1)可得：an=n-1/2(n=1,2,3,……,)
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因为 S[n]=n^2*a[n]
所以 S[n-1]=(n-1)^2*a[n-1] (n>=2)
相减得 a[n]=n^2*a[n]-(n-1)^2*a[n-1]
整理 (n^2-1)*a[n]=(n-1)^2*a...
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因为 S[n]=n^2*a[n]
所以 S[n-1]=(n-1)^2*a[n-1] (n>=2)
相减得 a[n]=n^2*a[n]-(n-1)^2*a[n-1]
整理 (n^2-1)*a[n]=(n-1)^2*a[n-1]
约分 (n+1)*a[n]=(n-1)*a[n-1]
化简得：
a[n]/a[n-1]=(n-1)/(n+1),
所以 a[n-1]/a[n-2]=(n-2)/(n) a[n-2]/a[n-3]=(n-3/(n-1) .......a[2]/a[1]=1/3
将上述n-1个式子相乘得
a[n]/a[1]=2/[(n+1)*n],
又a[1]=1
所以
a[n]=2/[(n+1)*n]
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