已知a,b,c为非零实数且(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a求（a+b)(b+c)(c+a)/abc的值

已知a,b,c为非零实数且(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a求（a+b)(b+c)(c+a)/abc的值
已知a,b,c为非零实数
且(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a
求（a+b)(b+c)(c+a)/abc的值

已知a,b,c为非零实数且(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a求（a+b)(b+c)(c+a)/abc的值
(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a=k
所以
a+b-c=kc
a-b+c=kb
-a+b+c=ka
两边相加得
a+b+c=k(a+b+c)
情况1：若a+b+c不等0
所以k=1
再由前3个方程得
a+b=2c
a+c=2b
b+c=2a
代入得
（a+b)(b+c)(c+a)/abc=（2c*2b*2a）/(abc)=8
情况2：若 a+b+c=0
则：a+b=-c a+c=-b b+c=-a
所以代入原式=-1
这道题主要考察的是思维全面性,a+b+c=0的情况,请楼主注意.

(a+b)/c-1=(a+c)/b-1=(b+c)/a-1
所以
(a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a
根据等比的性质有
(a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a
=[（a+b)+(a+c)+(b+c)]/(a+b+c)=2 [此时a+b+c≠0]
所以a+b=2c a+c=2b,b+c=2a
代入式子得到

全部展开

(a+b)/c-1=(a+c)/b-1=(b+c)/a-1
所以
(a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a
根据等比的性质有
(a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a
=[（a+b)+(a+c)+(b+c)]/(a+b+c)=2 [此时a+b+c≠0]
所以a+b=2c a+c=2b,b+c=2a
代入式子得到
（a+b)(b+c)(a+c)/(abc)=8
如果a+b+c=0 则有a+b=-c a+c=-b b+c=-a
代入得到答案为-1
所以最终答案为8或-1

收起

设(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a =K,根据和比定理
K=[(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)]/(a+b+c)
化简后， K=1
即(a+b-c)/c=1，（a+b）/c-1=1,（a+b）/c=2,依此类推，（b+c）/a=（a+c）/b=2
代入（a+b)(b+c)(c+a)/abc，=8

设(a+b-c)/c＝(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a=t
则有
a+b-c=ct
a-b+c=bt
-a+b+c=at
三式相加有(a+b+c)=(a+b+c)t
则有
a+b-c=c
a-b+c=b
-a+b+c=a
a+b=2c (1)
a+c=2b (2)
b+c...

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设(a+b-c)/c＝(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a=t
则有
a+b-c=ct
a-b+c=bt
-a+b+c=at
三式相加有(a+b+c)=(a+b+c)t
则有
a+b-c=c
a-b+c=b
-a+b+c=a
a+b=2c (1)
a+c=2b (2)
b+c=2a (3)
(1)-(2) 得 b-c=2(b-c) 所以有b-c=0 即b=c
同理可得 a=b=c
则（a+b)(b+c)(a+c)/abc=2a*2a*2a/a^3=8

收起

8

这个式子就是 a+b / c = a+c /b = b+c /a
让他=k
则a+b =ck a+c= bk b+c=ak
所以要求的就是 abck^3 / abc =k^3
同时把a+b =ck a+c=bk b+c =ak 相加得 2(a+b+c)=k(a+b+c)
你要是要能得到这个结果,还要有个条件是a+b+c!=...

全部展开

这个式子就是 a+b / c = a+c /b = b+c /a
让他=k
则a+b =ck a+c= bk b+c=ak
所以要求的就是 abck^3 / abc =k^3
同时把a+b =ck a+c=bk b+c =ak 相加得 2(a+b+c)=k(a+b+c)
你要是要能得到这个结果,还要有个条件是a+b+c!=0否则是求不出来了,要是有这个条件的话 得k=2 要求的也是 8

收起

（a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a
可等于：（a+b)/c-1=(a+c)/b-1=(b+c)/a-1
即：（a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a
可进一步得出：a=b=c
则（a+b)(b+c)(c+a)/abc=2a*2a*2a/（a*a*a)=8