设函数y=f(x)定义域在R上 当x>0时 f(x)>1 且对任意实数a,b属于R 有f(a+b)=f(a)f(b) 判断f(x)在R上的单调
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 08:35:20
设函数y=f(x)定义域在R上 当x>0时 f(x)>1 且对任意实数a,b属于R 有f(a+b)=f(a)f(b) 判断f(x)在R上的单调
设函数y=f(x)定义域在R上 当x>0时 f(x)>1 且对任意实数a,b属于R 有f(a+b)=f(a)f(b) 判断f(x)在R上的单调
设函数y=f(x)定义域在R上 当x>0时 f(x)>1 且对任意实数a,b属于R 有f(a+b)=f(a)f(b) 判断f(x)在R上的单调
设b=0 f(a+0)=f(a)f（0) 得f(0)=1
设b=a f(2a)=f(a)f(a) 所以f(x)>0 令x1〈x2
由f(0)=1得知 f(a-a)=f(a)f(-a)=1 即f(x)f(-x)=1
f(x2-x1)=f(x2)f(-x1)=f(x2)/f(x1)
因为 x2-x1〉0 所以f(x2-x1)〉1 f(x2)/f(x1) 〉1 即f(x2)〉f(x1) （因为f(x)>0）
所以 f(x) 在R上是增函数.
1. 由 f(0)=f(0)f(0)得f(0)=0 或 f(0)=1.若f(0)=0,
则 f(1)=f(1+0)=f(0)f(1)=0,与已知矛盾，故 f(0)≠0,所以 f(0)=1.
2. 当 x<0 时，-x>0, 所以 f(x-x)=f(x)f(-x)=f(0)=1,得 f(x)=1/f(-x)>0,
所以对任何的x∈R,f(x)>0.
3. ...
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1. 由 f(0)=f(0)f(0)得f(0)=0 或 f(0)=1.若f(0)=0,
则 f(1)=f(1+0)=f(0)f(1)=0,与已知矛盾，故 f(0)≠0,所以 f(0)=1.
2. 当 x<0 时，-x>0, 所以 f(x-x)=f(x)f(-x)=f(0)=1,得 f(x)=1/f(-x)>0,
所以对任何的x∈R,f(x)>0.
3. 对任意的x1,x2∈R,且 x1
f(x2)/f(x1)=f(x2)f(-x1)=f(x2-x1)>1, 即 f(x2)>f(x1),
所以 f(x) 在R上是增函数。
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