空间几何直三棱柱证明题一道如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,角ACB=90度,E为BB1中点,角A1DE=90度,求证CD垂直于面A1ABB1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 21:22:32
空间几何直三棱柱证明题一道如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,角ACB=90度,E为BB1中点,角A1DE=90度,求证CD垂直于面A1ABB1
空间几何直三棱柱证明题一道
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,角ACB=90度,E为BB1中点,角A1DE=90度,求证CD垂直于面A1ABB1
空间几何直三棱柱证明题一道如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,角ACB=90度,E为BB1中点,角A1DE=90度,求证CD垂直于面A1ABB1
证明：连接AE.
在△ABC中,用勾股定理,求出AB=2(√2).
在△A1B1E中,用勾股定理,求出AE=3.
在△AA1D中,有：A1D²=AA1²+AD²
在△BDE中,有：DE²=BE²+BD²
在△A1DE中,有AE²=A1D²+DE²=（AA1²+AD²）+（BE²+BD²）
AB=AD+BD(与上式联立,解方程组）
可以求出：AD=BD=√2.即D点是AB的中点,CD是等腰RT△ABC的斜边AB上的中线,
也就是斜边上的高（CD⊥AB).
又在直三菱柱ABC-A1B1C1中,有AA1⊥底面ABC,又CD∈面ABC,则AA1⊥CD.
综合上述条件,CD⊥AB,CD⊥AA1,且AA1∩AB=A.,有CD⊥面A1ABB1
证毕.
漏抄了D是AB上一点。
由∠A1DE=90°知△A1AD相似于△DBE，A1A/DB=AD/EB
DB*AD=2
因为DB+AD=2√2
可得到DB=AD=√2
D为AB中点，所以CD⊥AB，自然就垂直于面A1ABB1