已知圆C截y轴所得弦长为2,被x轴分成的两段圆弧弧长之比为3：1,圆心C到直线l：x-2y=0的距离为5分之根号5,求圆C的方程

已知圆C截y轴所得弦长为2,被x轴分成的两段圆弧弧长之比为3：1,圆心C到直线l：x-2y=0的距离为5分之根号5,求圆C的方程
已知圆C截y轴所得弦长为2,被x轴分成的两段圆弧弧长之比为3：1,圆心C到直线l：x-2y=0的距离为5分之根号5,求圆C的方程

已知圆C截y轴所得弦长为2,被x轴分成的两段圆弧弧长之比为3：1,圆心C到直线l：x-2y=0的距离为5分之根号5,求圆C的方程
- 由投票者2008-08-20 14:22:01选出
已知圆满足①截Y轴所得弦长为2 ②被X轴分成两段圆弧,其弧长的比为3 ：1 ③圆心到直线L：X-2Y=0的距离为√5/5,求圆的方程
设圆的方程为（x-a)²+(y-b)²=R².(1)
圆心M（a,b)到直线x-2y=0的距离为√5/5,故有等式：
｜a-2b｜/√5=√5/5,故
a-2b=-1.(2)
或a-2b=1.(3)
设圆与Y轴的交点为（0,y1)和(0,y2),将x=0代入（1）式,得：
y²-2by+a²+b²-R²=0
因“圆截Y轴所得弦长为2”,即｜y1-y2｜=2.按韦达定理,有等式：
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1*y2
=4b²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-a²)=4
于是得：R²-a²=1.(4)
又“被X轴分成两段圆弧,其弧长的比为3 ：1”,设劣弧S1所对的圆心
角为θ1,优弧S2所对的圆心角为θ2,则
S2/S1=Rθ2/Rθ1=θ2/θ1=3/1,故θ1=90˚,θ2=270˚.
设圆弧与X轴相交于A,B两点,则△AMB是等腰直角三角形,因此弦
长｜AB｜=｜X1-X2｜=（√2)R.
令（1）式中的y=0,便得：
x²-2ax+a²+b²-R²=0
于是由韦达定理有：
（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2=4a²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-b²)=2R²
即R²-2b²=0.(5)
由（2）（4）（5）联立解得：a=1,b=1,R²=2.
此时圆的方程为：（x-1)²+(y-1)²=2
由（3）（4）（5）联立解得：a=-1,b=-1,R²=2.
此时圆的方程为：(x+1)²+(y+1)²=2

设圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 (R>0)
令x=0,得y=b±√(R^2-a^2),由①得
[b+√(R^2-a^2)]-[b-√(R^2-a^2)]=2
所以R^2-a^2=1 ..............(1)
令y=0,得x=a±√(R^2-b^2),在x轴截得的弦长为2√(R^2-b^2),
由②得在x轴所截得的弦对应的圆心角为9...

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设圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 (R>0)
令x=0,得y=b±√(R^2-a^2),由①得
[b+√(R^2-a^2)]-[b-√(R^2-a^2)]=2
所以R^2-a^2=1 ..............(1)
令y=0,得x=a±√(R^2-b^2),在x轴截得的弦长为2√(R^2-b^2),
由②得在x轴所截得的弦对应的圆心角为90度
则2R^2=[2√(R^2-b^2)]^2
得R^2=2b^2,...............(2)
由③得|a-2b|/√5=√5/5
即|a-2b|=1.............(3)
解方程组得
a=1,b=1或a=-1,b=-1,R^2=2
所以圆的方程(x+1)^2+(y+1)^2=2或(x-1)^2+(y-1)^2=2

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额。。预习中，暂时看不懂。。
请问截y轴所得弦长是啥意思。。

设圆的方程为（x－a)^2+（y－b)^2=r^2.
令x=0，得y^2－2by+b^2+a^2－r^2=0.
|y1－y2|=√[(y1+y2)^2-4y1y2]=2√(r^2-a^2)，得r^2=a^2+1 ①
令y=0，得x^2－2ax+a^2+b^2－r^2=0，
|x1－x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=2√(r^2-b^2)，得r^2...

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设圆的方程为（x－a)^2+（y－b)^2=r^2.
令x=0，得y^2－2by+b^2+a^2－r^2=0.
|y1－y2|=√[(y1+y2)^2-4y1y2]=2√(r^2-a^2)，得r^2=a^2+1 ①
令y=0，得x^2－2ax+a^2+b^2－r^2=0，
|x1－x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=2√(r^2-b^2)，得r^2=2b^2 ②
由①、②，得2b^2－a^2=1
又因为P（a，b）到直线x－2y=0的距离为√5/5
得d=|a-2b|/√5=√5/5，即a－2b=±1.
综上可解得a=1,b=1或a=-1,b=-1
于是r^2=2b^2=2
所求圆的方程为(x+1)^2+(y+1)^2=2或(x－1)^2+(y－1)^2=2

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