《三大几何难题》真的无解吗?有人已经将此题解了,应该有什么地方验证?

《三大几何难题》真的无解吗?有人已经将此题解了,应该有什么地方验证?
《三大几何难题》真的无解吗?
有人已经将此题解了,应该有什么地方验证?

《三大几何难题》真的无解吗?有人已经将此题解了,应该有什么地方验证?
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决
位于欧洲南部的希腊,是著名的欧洲古国,几何学的故乡.这里的古人提出的三大几何难题,在科学史上留下了浓浓的一笔.这延续了两千多年才得到解决的世界性难题,也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的.
一.三大难题的提出
实际中存在着各种各样的几何形状,曲和直是最基本的图形特征.相应地,人类最早会画的基本几何图形就是直线和圆.画直线就得使用一个边缘平直的工具,画圆就得使用一端固定而另一端能旋转的工具,这就产生了直尺和圆规.
古希腊人说的直尺,指的是没有刻度的直尺.他们在大量的画图经历中感觉到,似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形,因而,古希腊人就规定,作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行,并称之为尺规作图法.
漫长的作图实践,按尺规作图的要求,人们作出了大量符合给定条件的图形,即便一些较为复杂的作图问题,独具匠心地经过有限步骤也能作出来.到了大约公元前6世纪到4世纪之间,古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题.
1.三等分角问题：将任一个给定的角三等分.
2.立方倍积问题：求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍.
3.化圆为方问题：求作一个正方形,使它的面积和已知圆的面积相等.
这就是著名的古代几何作图三大难题,它们在《几何原本》问世之前就提出了,随着几何知识的传播,后来便广泛留传于世.
二.貌以简单其实难
从表面看来,这三个问题都很简单,它们的作图似乎该是可能的,因此,2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人.也提出过各种各样的解决办法,例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法,解决立方倍积问题的勃洛特方法等等.可是,所有这些方法,不是不符合尺规作图法,便是近似解答,都不能算作问题的解决.
其间,数学家还把问题作种种转化,发现了许多与三大难题密切相关的一些问题,比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等.可是谁也想不出解决问题的办法.三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁,无数人做了无数次的尝试,均无一人成功.后来有人悟及正面的结果既然无望,便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出?
数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的,哪些不能?标准是什么?界限在哪里?可这依然是十分困难的问题.
三.高斯的发现
历史的车轮转到了17世纪.法国数学家笛卡尔创立解析几何,为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段,解决三大难题有了新的转机.
最先突破的是德国数学家高斯.他于1777年4月30日出生于不伦瑞克一个贫苦的家庭.他的祖父是农民,父亲是打短工的,母亲是泥瓦匠的女儿,都没受过学校教育.由于家境贫寒,冬天傍晚,为节约燃料和灯油,父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉.高斯爬上小阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯,在微弱的灯光下读书.他幼年的聪慧博得一位公爵的喜爱,15岁时被公爵送进卡罗琳学院,1795年又来到哥庭根大学学习.由于高斯的勤奋,入学后第二年,他就按尺规作图法作出了正17边形.紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数,那么正P边形就可以用尺规作图法作出,否则不能作出.
由此可以断定,正3边、5边、17边形都能作出,而正7边、11边、13边形等都不能作出.
高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩,而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献.他被人们赞誉为“数学王子”.高斯死后,按照他的遗愿,人们在他的墓碑上刻上一个正17边形,以纪念他少年时代杰出的数学发现.
四.最后的胜利
解析几何诞生之后,人们知道直线和圆,分别是一次方程和二次方程的轨迹.而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题,从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题,最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得.因此,一个几何量能否用直尺圆规作出的问题,等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得.这样一来,在解析几何和高斯等人已有经验的基础上,人们对尺规作图可能性问题,有了更深入的认识,从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点,只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方,并且取正值）所能作出的线段或者点.
标准有了,下来该是大胆探索、细心论证.谁能避过重重险滩将思维贯通起来,谁就是最后胜利者.1837年,23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想,证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决,宣布了2000多年来,人类征服几何三大难题取得了重大胜利.
他的证明方法是这样的：
假设已知立方体的棱长为a,所求立方体的棱长为x,按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系.所以立方倍积实际是求作满足方程x3－2a3＝0的线
段X,但些方程无有理根,若令a=1,则要作长度为2的立方根的线段,但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围,超出了尺规作图准则中所说的数量范围,所以它是不可能解的问题.
用类似地想法,他证明了三等分角也是不可能解的问题.实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理：如果边数N可以写成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn,其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素数,则可用尺规等分圆周N份,且只有当N可以表成这种形式时,才可用尺规等分圆周N份.根据这一定理,任意角的三等分就不可能了.
1882年,德国数学家林德曼借助于eiπ=-1证明了π的超越性,从而解决了化圆为方的问题.假设圆的半径为r,正方形的边长为x,按化圆为方数代数方程的根,更不能用加减乘除开平方所表示,因而不可能用尺规法作图.
从此,古典几何的三大难题都有了答案.
2000多年来,一代接一代地攻克三大难题,有人不禁要问这值得吗?假如实际中真遇到要三等分角、立方倍积、化圆为方,只要行之有效,何苦一定用尺规作图法解决?其实,数学研究并非一定要实用,数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚,道个明白,这种执著追求的拗劲正是科学的精神.更为重要的是,对三大难题的研究,反过来促进了数学的发展,出现了新的数学思想和方法,例如阿基米德、帕普斯发现的三等分角的方法,勃洛特用两块三角板解决立方倍积问题(这个我在上初中时曾经证明过,的确成立),等分圆周、作正多边形,高斯关于尺规作图标准的重大发现等等.每一次突破不仅是人类智慧的胜利,使数学园地争奇竞艳,而且有利于科学技术的发展.
特别值得提到的是,在三大几何难题获得解决的同时,法国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究,在1830年,19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法,从而创立了群论.群论是近世抽象代数的基础,它是许多实际问题的数学模型,应用极其广泛,而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题.所以,一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论,可伽罗瓦理论是在他死后14年才发表的,直到1870年,伽罗瓦理论才得到第一次全面清楚的介绍.