四棱锥P-abcd中,底面ABCD是边长为8的菱形,角BAD=60°,若PA=PD=5,平面PAD垂直于平面ABCD（1）求其体积（2）求证AD垂直PB（3）若E为BC中点,能否在棱PC上找一点F,使平面DEF垂直于面ABCD,证明你的结论
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 01:50:54
四棱锥P-abcd中,底面ABCD是边长为8的菱形,角BAD=60°,若PA=PD=5,平面PAD垂直于平面ABCD（1）求其体积（2）求证AD垂直PB（3）若E为BC中点,能否在棱PC上找一点F,使平面DEF垂直于面ABCD,证明你的结论
四棱锥P-abcd中,底面ABCD是边长为8的菱形,角BAD=60°,若PA=PD=5,平面PAD垂直于平面ABCD
（1）求其体积（2）求证AD垂直PB（3）若E为BC中点,能否在棱PC上找一点F,使平面DEF垂直于面ABCD,证明你的结论
四棱锥P-abcd中,底面ABCD是边长为8的菱形,角BAD=60°,若PA=PD=5,平面PAD垂直于平面ABCD（1）求其体积（2）求证AD垂直PB（3）若E为BC中点,能否在棱PC上找一点F,使平面DEF垂直于面ABCD,证明你的结论
1.连接BD,并过P作PG⊥AD于G,连接GB
∵PD=PA,∴在等腰△PAD中,PG为底边AD的高,∴PG也是AD的中线,由AD=8,可得AG=AD/2=4,在Rt△PAG中,由勾股定理,以及已知的PA=5,AG=4,可求出PG=3
由于ABCD是菱形,有AD=AB,且∵∠BAD=60°,∴△BAD为等边三角形,而G为AD边中点,故BG⊥AD
于是,BG为菱形ABCD中,边AD上的高
而等边三角形ABD中,边长为8,容易求出其高BG=4√3
于是有：S菱形ABCD=AD*BG=32√3
而面PAD⊥面ABCD,AD为两面交线,且面PAD上的直线PG⊥AD于G,∴PG⊥面ABCD,PG为四棱锥P-ABCD中,底面ABCD上的高
所以,V四棱锥P-ABCD=(S菱形ABCD)*PG /3 =32√3
2.前方已经得出：PG⊥AD,BG⊥AD,PG与BG为面PBG中的相交直线,故AD⊥面PBG,而PB∈面PBG,∴有AD⊥PB
3.可找到这样的F点满足题意,而这个F点恰为PC中点,以下证明：
∵PG⊥面ABCD,PG∈面PBG,∴面PBG⊥面ABCD
而题目要求面DEF⊥面ABCD,故需要面DEF‖面PBG
要想使两面平行,需找出两对儿分别属于两面的相交直线,使它们平行即可
很容易证明△CDB为等边三角形,而E为BC中点,∴DE⊥CB
而AD‖CB,∴DE⊥AD
前方已证BG⊥AD
∴有DE‖BG
这样,已经找到了DE,BG这两条分属于面DEF与PBG上的平行线
而另外一对儿平行线,要求它们要分别与DE,BG相交,且也要平行
面PBG中选取PB的话,无疑,由于F在PC上,一定要使EF‖PB即可
而EF‖PB的话,根据比例线段的性质,可得出F为PC中点的结论
此题关键是对直线垂直面的判断，楼主按照一楼的耐心做就好，本来我也已经写出答案了，结果一楼比我早，又没有错，就不再献丑了。。。