线性代数的题:已知向量a1,a2,a3线性无关,证明a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1线性无关.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/01 08:57:23
线性代数的题:已知向量a1,a2,a3线性无关,证明a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1线性无关.
线性代数的题:已知向量a1,a2,a3线性无关,证明a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1线性无关.
线性代数的题:已知向量a1,a2,a3线性无关,证明a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1线性无关.
设存在K1,K2,K3使K1(a1+2a2)+K2(a2+2a3)+K3(a3+2a1)=0
整理得(K1+2K3)a1+(2k1+k2)a2+(K3+2k2)a3=0
因为a1,a2,a3线性无关
所以
(K1+2K3)=0
(2k1+k2)=0
(K3+2k2)=0解得:K1=K2=K3=0
所以
a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1线性无关.
假设a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1线性相关;则有
k1(a1+2a2)+k2(a2+2a3)+k3(a3+2a1)=0 (1)
其中 k1, k2, k3 至少一者不为零 (*)
整理上式,得
(k1+2k3)a1+(2k1+k2)a2+(2k2+k3)a3=0 (2)
因为a1,a2,a3线性无关,所以若(2)成立,则必有其系...
全部展开
假设a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1线性相关;则有
k1(a1+2a2)+k2(a2+2a3)+k3(a3+2a1)=0 (1)
其中 k1, k2, k3 至少一者不为零 (*)
整理上式,得
(k1+2k3)a1+(2k1+k2)a2+(2k2+k3)a3=0 (2)
因为a1,a2,a3线性无关,所以若(2)成立,则必有其系数为零
k1+2k3 = 2k1+k2 = 2k2+k3 = 0
解得k1 = k2 = k3 =0
与(*)矛盾
则命题得证
收起
前面两个用的线性无关的定义证明的 我就Rank的性质证明吧