四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90,M是AC的中点,MN⊥BD,与MD的平行线交于点N①试问四边形BNDM是何种特殊四边形,证明你的结论 ②若∠DCA=30°,∠BAC=45°,求四边形BNDM各内角的度数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 10:05:24
四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90,M是AC的中点,MN⊥BD,与MD的平行线交于点N①试问四边形BNDM是何种特殊四边形,证明你的结论 ②若∠DCA=30°,∠BAC=45°,求四边形BNDM各内角的度数
四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90,M是AC的中点,MN⊥BD,与MD的平行线交于点N
①试问四边形BNDM是何种特殊四边形,证明你的结论
②若∠DCA=30°,∠BAC=45°,求四边形BNDM各内角的度数
四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90,M是AC的中点,MN⊥BD,与MD的平行线交于点N①试问四边形BNDM是何种特殊四边形,证明你的结论 ②若∠DCA=30°,∠BAC=45°,求四边形BNDM各内角的度数
1.证明：
∵△ADC和 △ABC都是直角三角形
又∵M为AC的中点
∴BM = DM = 1/2AC
∵DB⊥MN,MD=MD
∴△DMO ≌ △BMO
∴∠DMN = ∠BMN
∵DM‖BN
∴∠DMN = ∠BNM
∴∠BMN = ∠BNM
∵BO = BO
∴△BMO ≌ △BNO
∴BM = BN = DM
∴DM 平行且等于 BN
∴四边形DMBN为平行四边形
∵MN⊥BD
∴平行四边形DMBN为菱形
∵ AM = BM = DM
∴ ∠BAM = ∠MBA,∠DAM = ∠MDA
∴ ∠BMC = 2∠BAM = 2*30° = 60°
∠DMC = 2∠DAM = 2*45° = 90°
∴ ∠DMB = ∠BMC+∠DMC = 90+60 = 150°
∴ ∠MDN = 180°-∠DMB = 180-150 = 30°
(1)BNDM是菱形，证明：
由于△ABC与△ADC为RT△，M为公共斜边上的中点，所以有BM=AM=DM，所以△BMD为等腰△，又因为MN⊥BD，根据三线合一得BO=DO，由于BN∥MB所以∠BDM=∠DBN，再加上一对直角对顶角，BO=DO，所以△BOM≌△MOD，所以BN=MN又因为BN∥MD，所以BNDM为平行四边形，又由于BM=MD，所以BNDM为菱形。
（2）设∠BMD...
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(1)BNDM是菱形，证明：
由于△ABC与△ADC为RT△，M为公共斜边上的中点，所以有BM=AM=DM，所以△BMD为等腰△，又因为MN⊥BD，根据三线合一得BO=DO，由于BN∥MB所以∠BDM=∠DBN，再加上一对直角对顶角，BO=DO，所以△BOM≌△MOD，所以BN=MN又因为BN∥MD，所以BNDM为平行四边形，又由于BM=MD，所以BNDM为菱形。
（2）设∠BMD为X°，由于∠DCA=30°，∠BAC=45°，容易证明△ABM与△ABC为等腰直角△，△AMD为等边△，∠CAD=60°。所以有∠BAD+∠ABM+∠ADM+∠BMD=360°，
即 ：（60+45）+45+60+∠BMD=360，解得X=150°，所以∠BMD=∠BND=150°，∠NBM=∠NDM=30°
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