已知a,b>0,且a+b=1,求1/a^2+8/b^2的最小值请朋友们找找其它的方法，不用导数。
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 23:14:37
已知a,b>0,且a+b=1,求1/a^2+8/b^2的最小值请朋友们找找其它的方法，不用导数。
已知a,b>0,且a+b=1,求1/a^2+8/b^2的最小值
请朋友们找找其它的方法，不用导数。
已知a,b>0,且a+b=1,求1/a^2+8/b^2的最小值请朋友们找找其它的方法，不用导数。
二楼的解答我不赞成,取等于号时,要确保2b/a=16a/b和b^2/a^2=8a^2/b^2同时成立,即b^2=8a^2和b^4=8a^4同时成立,后者b^2=2√2a^2,所以不成立
正确解法如下：
根据题意,设a=x,b=1-x 0
因为a+b=1
所以1/a^2+8/b^2=(a+b)^2/a^2+8(a+b)^2/b^2
=(a^2+2ab+b^2)/a^2+(8a^2+16ab+8b^2)/b^2
=1+2b/a+b^2/a^2+8a^2/b^2+16a/b+8
≥9+2√[(2b/a)*(16a/b)]+2√[(b^2/a^2)*(8a^2/b^2)]
=9+2*4√2+2*2√...
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因为a+b=1
所以1/a^2+8/b^2=(a+b)^2/a^2+8(a+b)^2/b^2
=(a^2+2ab+b^2)/a^2+(8a^2+16ab+8b^2)/b^2
=1+2b/a+b^2/a^2+8a^2/b^2+16a/b+8
≥9+2√[(2b/a)*(16a/b)]+2√[(b^2/a^2)*(8a^2/b^2)]
=9+2*4√2+2*2√2
=9+12√2
抱歉，我确实做错了，忽略了取相等的条件了，确实不能同时让两者取到最小值
ID为zxy335的做法是正确的，那么我这也就不修改了，楼主请看他的解答，直接无视我的就行。
收起
根据一正二定三相等（即如果A>0, B>0,则A+B≥根号AB，当且仅当A=B是等号成立）
依题意, 1/a² + 8/b²
≥根号(1/a² * 8/b²)=18/(ab)²
因为a,b>0 ,a+b=1≥根号ab>0，即
0<根号ab≤1
<=> 0<(ab)²≤1
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根据一正二定三相等（即如果A>0, B>0,则A+B≥根号AB，当且仅当A=B是等号成立）
依题意, 1/a² + 8/b²
≥根号(1/a² * 8/b²)=18/(ab)²
因为a,b>0 ,a+b=1≥根号ab>0，即
0<根号ab≤1
<=> 0<(ab)²≤1
<=> 18/(ab)²≥18
即 1/a² + 8/b² ≥18
当且仅当 1/a²=8/b² 即b=（2根号2)a 时等号成立。
联立 a+b=1, b=(2根号2）a 得
a=(2根号2-1)/7 ,b=(8-2根号2)/7 时，原式取最小值18。
收起
由于a，b>0
当8*a^2=b^2时
1/a^2+8/b^2最小
有不用导数的方法吗？