一道初三数学题（有二次函数,一次函数,圆）直线y=mx+2与抛物线y=-x

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/24 16:16:45

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一道初三数学题（有二次函数,一次函数,圆）
直线y=mx+2与抛物线y=-x

一道初三数学题（有二次函数,一次函数,圆）直线y=mx+2与抛物线y=-x
原题
一道初三数学题（有二次函数,一次函数,圆）
直线y=mx+2与抛物线y=-x²+2x+3交于T,Q两点,是否存在实数m,使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点,若存在,求m,若不存在,说明理由.
以TQ为直径的圆恰好经过原点
即：TQ的中点A(a,b)到原点的距离等于TQ的一半
y=-x²+2x+3
y=mx+2
直线方程代入抛物线
-x²+2x+3=mx+2
x²+(m-2)x-1=0
x1+x2=2-m
x1x2=-1
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(2-m)²-4*(-1)=m²-4m+8
TQ²=(1+m²)(x1-x2)² 这是弦长公式
=(m²+1)(m²-4m+8)
TQ中点A(a,b)
a=(x1+x2)/2=(2-m)/2
b=(y1+y2)/2=m(x1+x2)/2+2=(-m²+2m+4)/2
OA²=(TQ/2)²
4OA²=TQ²
4(a²+b²)=TQ²
(2-m)²+(-m²+2m+4)²=(m²+1)(m²-4m+8)
3m²-4m-2=0
m=(2±√10)/3

题目不完整

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