如图,在等腰三角形ABC中,∠C=90度,点D为BC边的中点,DE⊥AD交AB于E点,AC=3,求△BDE的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 22:23:13
如图,在等腰三角形ABC中,∠C=90度,点D为BC边的中点,DE⊥AD交AB于E点,AC=3,求△BDE的面积
如图,在等腰三角形ABC中,∠C=90度,点D为BC边的中点,DE⊥AD交AB于E点,AC=3,求△BDE的面积
如图,在等腰三角形ABC中,∠C=90度,点D为BC边的中点,DE⊥AD交AB于E点,AC=3,求△BDE的面积
作CM⊥AB,垂足为M,CM交AD于N
因为等腰△ABC中,∠C=90度
所以CM是AB边上的中线
因为AD是BC边上的中线
所以N是△ABC的重心
所以AN＝2DN
所以S△ACN＝2S△CDN＝S△ABC/3＝3/2
因为∠ADF＝90度
所以∠CDA＋∠BDE＝90度
而∠CDA＋∠CAD＝90度
所以∠CAD＝∠BDE
又因为∠ACN＝∠B＝45度
所以△ACN∽△DBE
因为BD＝BC/2＝AC/2
所以S△ACN/S△DBE＝(AC/BD)^2＝4
所以S△BDE＝S△ACN/4＝3/8
证明等腰三角形ABC相似于三角形BDE，两相似三角形的面积比是相似比的平方
等腰三角形ABC的面积是4.5，所以△BDE的面积就是1.125
过点D分别作DM⊥AB，DN⊥BC，M、N是垂足， ∵AB=BC，D为AC边上的中点， ∴点D在∠ABC的平分线上，故DM=DN， ∵∠ABC=90°，∴∠MDN=360°-3×90°=90°， ∵∠EDF=90° ∴∠MDE=∠MDN-∠EDN=90°-∠EDN=∠EDF-∠EDN=∠NDF， ∴Rt△DME≌Rt△DNF(AAS)， ∴EM=FN， ∵DM//BC，DN//AB， ∴M、N分别是AB、BC的中点， ∵EM=AE-AM=4-1/2AB，FN=CN-CF=1/2BC-3=1/2AB-3， ∴4-1/2AB=1/2AB-3，即AB=7， ∴BE=AB-AE=7-4=3，BF=BC-CF=7-3=4， ∴EF=√(BE²+BF²)=√(3²+4²)=5。
用勾股定理
先用勾股定理算出AD边长，再在三角形ABD中用定理算出角DAB的余弦值，然后在三角形ADE中求出AE和DE边长。最后在三角形BDE中知道三边长和一个角45度，想怎么求面积就怎么求。