已知O是三角形ABC的外心,AB=2 AC=1,角BAC=120°.若向量AO=m*向量AB+n*向量AC 则m+n=?用最简单的方法
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 23:04:14
已知O是三角形ABC的外心,AB=2 AC=1,角BAC=120°.若向量AO=m*向量AB+n*向量AC 则m+n=?用最简单的方法
已知O是三角形ABC的外心,AB=2 AC=1,角BAC=120°.若向量AO=m*向量AB+n*向量AC 则m+n=?
用最简单的方法
已知O是三角形ABC的外心,AB=2 AC=1,角BAC=120°.若向量AO=m*向量AB+n*向量AC 则m+n=?用最简单的方法
【解法一】
AB•AC==|AB||AC|cos∠A=-1
|AB|²=4,|AC|²=1.
如下图：
AO•AC=|AO||AC|cos∠OAC=|AO||AC|•(|AC|/|AD|)
=1/2|AD||AC|•(|AC|/|AD|)
=1/2|AC|²=1/2,
AO•AB=|AO||AB|cos∠OAB=|AO||AB|•(|AB|/|AD|)
=1/2|AD||AB|•(|AB|/|AD|)
=1/2|AB|²=2,
向量AO=m*向量AB+n*向量AC,
两边点乘向量AB可得：AO•AB=m*向量AB²+n*向量AB*向量AC,
即2=4m-n,①
同理两边点乘向量AC可得：AO•AC=m*向量AB*向量AC +n *向量AC²,
即1/2=-m+n,②
联立①②解得：m= 5／6,n= 4／3,
∴m+n= 13／6.
【解法二】
O为三角形ABC三边垂直平分线的交点,
则O为三角形的外接圆的圆心.
由余弦定理：BC=(AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos120°)^(1/2)
= (4+1+2) ^(1/2)=7^(1/2)
AO为外接圆的半径,设AO =R,
根据正弦定理得：BC/sinA=2R, R=(BC/2)/sin120°=(7/3)^(1/2)
过O作AC的垂线与AC交于D,再过O作AB的平行线与AC的延长线交于E,
则 DO=(AO^2-(AC/2)^2)^(1/2)=(7/3-1/4)^(1/2)=(25/12)^(1/2)
∵∠DEO=60°
∴DO/EO=cos30°
∴EO=DO/cos30°=(25/12)^(1/2)*(2/3^(1/2))=5/3
∴DE=EO/2=5/6
∴AE=DE+AC/2=5/6+1/2=4/3
过O作AC的平行线与AB交于F,则四边形FAEO是平行四边形,
向量AO=向量AF+向量AE=m*向量AB+n*向量AC
∴|向量AF|=m*|向量AB|,|向量AE|=n*|向量AC|
∵|向量AF|=EO=5/3,|向量AB|=2,|向量AE|=4/3,|向量AC|=1
∴5/3=2m,4/3=n
∴m + n = 5/6 + 4/3 = 13/6.
【解法三】
以A为原点,以AB所在的直线为x轴,建立直角系：
A（0,0）,B （2,0）,C（- 1／2, √3／2 ）,
∵O为△ABC的外心,
∴O在AB的中垂线 r1：x=1 上,又在AC的中垂线 r2 上,
AC的中点（- 1/4, √3/4）,AC的斜率为-√ 3,
∴中垂线r2;y- √3／4=√ 3／3（x+ 1／4 ）．
r1和r2 联立方程组
△ABC的外心O（1, 2√3／3 ）,
AO=mAB+nAC
（1, 2√3／3）=m（2,0）+n（- 1／2, √3／2）,=2m- 1／2n, √3±2n ）,
∴2m- 1／2n=1,√ 3／2n= 2√3／3,
∴m= 5／6,n= 4／3,
∴m+n= 13／6,