请用判别式法计算已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么向量PA*PB 的最小值为为什么x^4 可以直接用判别式不用考虑x^4取值范围?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/17 05:48:23

请用判别式法计算已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么向量PA*PB的最小值为为什么x^4可以直接用判别式不用考虑x^4取值范围?请用判别式法计算已知圆O的半径为1,PA

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请用判别式法计算已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么向量PA*PB 的最小值为
为什么x^4 可以直接用判别式不用考虑x^4取值范围?

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这是2010年高考题全国卷里的一道选择题.
x^2的取值范围要考虑!
请你看我下面的详细
设PA=PB=X（x＞0）,∠APO=α,
则∠APB=2α,由勾股定理得PO=根号（1+x^2）,
sinα=1/根号（1+x^2）,
向量PA•向量PB=|PA|•|PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/(1+x^2)
=（x^4-x^2）/（1+x^2）,
令向量PA•向量PB=y,
则y==（x^4-x^2）/（1+x^2）,
即x^4-（1+y）x^2-y=0,
由于x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0,
y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2
x^2＞0,设x^2=t,
方程x^4-（1+y）x^2-y=0可以化为t^2-（1+y）t-y=0,
根据韦达定理得：t1+t2=1+y,t1t2=-y,
当y≤-2√2-3时,t1+t20,
这时t1,t2都是负值,因为x^2=t>0,所以不合题意,舍去.
当y≥-3+2√2时,t1+t2>0,t1t2>0,
这时t1,t2都是正值,符合题意.
故（向量PA•向量PB）min=-3+2√2

请用判别式法计算 已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么向量PA*PB 的最小值为为什么x^4 可以直接用判别式 不用考虑x^4取值范围?

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