a+b+c=10(a,b,c为非负整数）求 abc+ab+bc+ac 最大值?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 03:17:25
a+b+c=10(a,b,c为非负整数）求 abc+ab+bc+ac 最大值?
a+b+c=10(a,b,c为非负整数）求 abc+ab+bc+ac 最大值?
a+b+c=10(a,b,c为非负整数）求 abc+ab+bc+ac 最大值?
假设当abc+ab+bc+ca取最大值的时候,a,b,c的取值就是a,b,c.我们来研究a,b,c有什么特征.
所求式子=（1+c）ab+c（a+b）=（1+c）ab+c（10-c） 由于这个值是最大值,所以当c不变的时候,a+b也不变,并且ab也取到最大值.而ab=1/4[（a+b）²-（a-b）²]也就是a-b绝对值最小.而a-b最小一定是0或者1.
同样我们可以得到a-c绝对值是0或者1,b-c绝对值是0或者1.
这里可能会有点让人看不懂,其中的思想是反证法.也就是我假设取最大值的时候,a,b,c的值已经知道了.根据我上面的分析,假设a-b的绝对值不是0或者1.我就可以让a-1,b+1,c去代替现在的a,b,c让所得的式子值更大,这就跟我们假设已经得到最大值矛盾了.于是必须有a-b的绝对值是0或者1.
由于三个数加起来=10是偶数,所以其中一定有一个是偶数,就设a是偶数.于是b-c也是偶数.得到b=c=5-0.5a
而a-b的绝对值最大是1,所以1.5a-5的绝对值最大是1.得到8/3<=a<=4
a是偶数,所以a=4,b,c=3求出来结果是
69
楼上有位给出了比较简洁的xyz在x+y+z=13时的最大值变化.
我用同样的反证法思想来证明xyz取最大值的时候,|x-y|<=1
如若不然,有一组（x,y,z）使得xyz取最大值,并且|x-y|>=2,不妨假设x>y
这个时候,我取另外一组（x-1,y+1,z） 也满足三个数之和=13.并且三个数的积
为(xy+x-y-1)z根据x-y>=2就知道 xy+x-y-1>=(xy+1)z>xyz.这跟xyz是最大值矛盾.
所以必须有|x-y|<=1,同样的道理可以得到x,z;y,z之间的关系
abc+ab+bc+ac
在a、b、c三个数最接近的时候，有最大值，
3×3×4＋3×3＋3×4＋3×4=69
abc+ab+bc+ac=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c+1)
所以问题就等价于x+y+z=13时xyz的最大值，x,y,z是正整数
可以证明x,y,z越接近时乘积越大（你先自己想，证不出来再来问我），所以(x,y,z)=(4,4,5)是一个最佳选择，此时abc+ab+bc+ac=69
由题可知，（a、b、c是可以相等、也可以不等的正整数）所以当abc三数相近时取值越大，因此可得abc+ab+ac+bc=3*3*4+3*3+3*4+3*4=69
200=2（a+b+c）^2=2a^2+2b^2+2c^2+4ab+4bc+4ac>=2ab+2ac+2bc+4ab+4bc+4ac=6(ab+bc+ac)
当且仅当a=b=c---》利用均值不等式a^2+b^2>=2ab
又(a+b+c)/3>=(abc)1/3 当且仅当a=b=c
==》abc+ab+bc+ac<=[(a+b+c)/3]^3+(a+b+c)^2/3=1000/27+100/3=1900/27
当且仅当a=b=c=10/3
即最大值为1900/27
a+b+c=10，两边平方后，就可以看出关系