海伦公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 21:29:57
海伦公式
海伦公式
海伦公式
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则
S△ABC = aha= ab×sinC = r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中,S△ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载.
海伦公式在解题中有十分重要的应用.
一、 海伦公式的变形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式.
证明：如图ha⊥BC,根据勾股定理,得:
x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④,故得证.
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha.
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D,
若BD=u,DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明：由证一可知,u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤,故得证.
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明.
证明：要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证.
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式.
恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明：如图,tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式,得：
+ + =
①②③代入,得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x = 同理：y = z =
代入 ④,得：r 2 · =
两边同乘以 ,得：
r 2 · =
两边开方,得：r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证.
证五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
证明：根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得：r3 = ×xyz