初中数学题!已知方程组 x²+y²-2x=0 kx-y-k=0(x、y为未知数) 求证(x1-x2)²+(y1-y2)²是一个常数

初中数学题!已知方程组 x²+y²-2x=0 kx-y-k=0(x、y为未知数) 求证(x1-x2)²+(y1-y2)²是一个常数
初中数学题!已知方程组 x²+y²-2x=0 kx-y-k=0(x、y为未知数) 求证(x1-x2)²+(y1-y2)²是一个常数

初中数学题!已知方程组 x²+y²-2x=0 kx-y-k=0(x、y为未知数) 求证(x1-x2)²+(y1-y2)²是一个常数
证明：∵kx-y-k=0
∴y=kx-k
代入x²+y²-2x=0得,
（k²+1)x²-(2k²+2)x+k²=0
∴x1+x2=(2k²+2)/(k²+1)=2 x1x2=k²/(k²+1）
（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=4-4k²/(k²+1)=4/(k²+1）
∵y1-y2=(kx1-k)-(kx2-k)=k(x1-x2)
∴(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1-x2)²+k²(x1-x2)²=(1+k²)(x1-x2)²=(1+k²)×4/(k²+1)=4
∴(x1-x2)²+(y1-y2)²是一个常数

根据kx-y-k=0,得y=kx-k(1)
将（1）代入前面的二次式，得(k^2+1)x^2-2(k^2+1)x+k^2=0
根据韦达定理，因为x1，x2满足此方程，所以x1 + x2=2，x1 * x2=k ^ 2/( k ^ 2 + 1 )，都可以求出
同理，用带y的式子来表达x的话同样可以求出y1 * y2，y1 + y2
再根据完全平方展开式，(x1 - x...

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根据kx-y-k=0,得y=kx-k(1)
将（1）代入前面的二次式，得(k^2+1)x^2-2(k^2+1)x+k^2=0
根据韦达定理，因为x1，x2满足此方程，所以x1 + x2=2，x1 * x2=k ^ 2/( k ^ 2 + 1 )，都可以求出
同理，用带y的式子来表达x的话同样可以求出y1 * y2，y1 + y2
再根据完全平方展开式，(x1 - x2) ^ 2=(x1 + x2) ^ 2-4 x1 * x2可用带k的表达式表达出来
同样的，(y1-y2)^2也可以这么展开，用一个带k的式子来表达
两者相加，正好消去k，所以得出来(x1-x2)^2+(y1-y2)^2是个常数，结果应该是4（如果没算错）

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x²+y²-2x=0是圆的方程，圆心是（1,0）半径是1
kx-y-k=0是直线方程，而且一定过（1,0）
下面就简单了，直线过圆心，两个交点连起来正好是直径，所以(x1-x2)²+(y1-y2)²就是直径的平方4啦

证明：∵kx-y-k=0
∴y=kx-k
代入x²+y²-2x=0得，
（k²+1)x²-(2k²+2)x+k²=0
∴x1+x2=(2k²+2)/(k²+1)=2 x1x2=k²/(k²+1）
（x1-x2)²=(x1+x2)²-4...

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证明：∵kx-y-k=0
∴y=kx-k
代入x²+y²-2x=0得，
（k²+1)x²-(2k²+2)x+k²=0
∴x1+x2=(2k²+2)/(k²+1)=2 x1x2=k²/(k²+1）
（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=4-4k²/(k²+1)=4/(k²+1）
∵y1-y2=(kx1-k)-(kx2-k)=k(x1-x2)
∴(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1-x2)²+k²(x1-x2)²=(1+k²)(x1-x2)²=(1+k²)×4/(k²+1)=4
∴(x1-x2)²+(y1-y2)²是一个常数

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