不等于0的三个数a、b、c满足1/a＋1/b＋1/c＝1/（a＋b＋c）,求证：a、b、c中至少有两个互为相反数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 14:38:45
不等于0的三个数a、b、c满足1/a＋1/b＋1/c＝1/（a＋b＋c）,求证：a、b、c中至少有两个互为相反数
不等于0的三个数a、b、c满足1/a＋1/b＋1/c＝1/（a＋b＋c）,求证：a、b、c中至少有两个互为相反数
不等于0的三个数a、b、c满足1/a＋1/b＋1/c＝1/（a＋b＋c）,求证：a、b、c中至少有两个互为相反数
证明：
∵1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c),
∴ba＾+bc＾+2abc+ab＾+cb＾+ca＾+ac＾=0
b（a+c）＾+（a+c）b＾+ac（a+c）=0
（a+c）[ba+bc+b＾+ac]=0
（a+c）[b（b+a）+c（b+a）]=0
（a+c）（a+b）（b+c）=0
则a=-c 或 a=-b 或 b=-c
即a、b、c中至少有两个互为相反数
1/a＋1/b＋1/c＝1/（a＋b＋c）
（a＋b）/ab＋1/c＝1/[（a＋b)＋c]
[（a＋b）c＋ab]/abc＝1/[（a＋b)＋c]
abc=(a+b)^2c+（a＋b）c+ab（a＋b）+abc
ac+bc+ab+c^2=0
同理，若将[a＋（b＋c)]、[（a＋c)＋b]整理可得
ac+bc+ab+a^2=0
ac+bc+...
全部展开
1/a＋1/b＋1/c＝1/（a＋b＋c）
（a＋b）/ab＋1/c＝1/[（a＋b)＋c]
[（a＋b）c＋ab]/abc＝1/[（a＋b)＋c]
abc=(a+b)^2c+（a＋b）c+ab（a＋b）+abc
ac+bc+ab+c^2=0
同理，若将[a＋（b＋c)]、[（a＋c)＋b]整理可得
ac+bc+ab+a^2=0
ac+bc+ab+b^2=0
即a^2=b^2=c^2
而a、b、c均不为零
ac+bc+ab=-a^2
故a、b、c中至少有两个互为相反数
收起
证明：设z=a+b 则a=z-b
1/a＋1/b＋1/c＝1/（a＋b＋c）
(a+b)/ab+1/c=1/(a+b+c)
z/ab+1/c=1/(z+c)
zc+ab=abc/(z+c)
zc(z+c)+ab(z+c)=abc
zc(z+c)+abz=0
z[cz+c*c+(z-b...
全部展开
证明：设z=a+b 则a=z-b
1/a＋1/b＋1/c＝1/（a＋b＋c）
(a+b)/ab+1/c=1/(a+b+c)
z/ab+1/c=1/(z+c)
zc+ab=abc/(z+c)
zc(z+c)+ab(z+c)=abc
zc(z+c)+abz=0
z[cz+c*c+(z-b)*b]=0
z(cz+bz+c*c-b*b)=0
z[z(c+b)+(c-b)(c+b)]=0
z(z+c-b)(b+c)=0
把z=a+b代入
（a+b)(a+c)(b+c)=0
所以a=-b或a=-c或b=-c至少有一项成立
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