已知矩形ABCD,AB=2,BC=1沿对角线BD将三角形BDC折起,使二面角C-BD-A为直二面角,则异面直线BC与AD所成角的余弦值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 03:04:19
已知矩形ABCD,AB=2,BC=1沿对角线BD将三角形BDC折起,使二面角C-BD-A为直二面角,则异面直线BC与AD所成角的余弦值为?
已知矩形ABCD,AB=2,BC=1沿对角线BD将三角形BDC折起,使二面角C-BD-A为直二面角,则异面直线BC与AD所成角的余弦值为?
已知矩形ABCD,AB=2,BC=1沿对角线BD将三角形BDC折起,使二面角C-BD-A为直二面角,则异面直线BC与AD所成角的余弦值为?
^2是平方
分别取CD、AB、BD的中点M、N、P,顺次联结MP、NP
则MP、NP是△BCD、△ABD的中位线,有MP∥BC、NP∥AD
所以BC与AD的所成角为∠MPN,cos∠MPN即为所求
联结MN,考虑在△MNP中通过余弦定理求cos∠MPN
MP=BC/2=1/2,NP=AD/2=1/2,所以只需求出MN的长
过M作MH⊥BD于H,过H作HH'⊥AB于H',联结HN
由∠MHD=∠C=90°,∠MDH=∠BDC,可知△DHM∽△DCB,有DH/CD=DM/BD=HM/BC
而DM=CD/2=1,BD=√(BC^2+CD^2)=√5,所以DH/2=1/√5=HM/1,解得DH=2/√5,HM=1/√5
则BH=BD-DH=√5-2/√5=3/√5,即BH/BD=3/5
而HH'∥AD,所以HH'/AD=BH'/AB=BH/BD=3/5,则HH'=AD*3/5=3/5
且NH'=BH'-BN=AB*3/5-AB/2=AB/10=1/5,则HN=√(NH'^2+HH'^2)=√10/5
由于平面BCD⊥平面ABD,且平面BCD上的MH⊥交线BD
所以MH⊥平面ABD,又HN在平面ABD上,所以MH⊥HN
则MN=√(HM^2+HN^2)=√((1/√5)^2+(√10/5)^2)=√3/√5
在△MNP中,MP=NP=1/2,MN=√3/√5
由余弦定理,cos∠MPN=(MP^2+NP^2-MN^2)/(2*MP*NP)=-1/5
即BC与AD所成角的余弦值为-1/5
3根号13/13