用若干个0和若干个1写成一个多位数,如果这个多位数能被36整除,那么这个数最小是多少?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/26 03:59:23

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用若干个0和若干个1写成一个多位数,如果这个多位数能被36整除,那么这个数最小是多少?
用若干个0和若干个1写成一个多位数,如果这个多位数能被36整除,那么这个数最小是多少?

用若干个0和若干个1写成一个多位数,如果这个多位数能被36整除,那么这个数最小是多少?
不妨设那个数为x=abcdefgh.
首先,36=4*9,4与9互素
所以那个数x必须且只需满足4|x且9|x
因为9|x,所以9|a+b+c+d+e+f+g+h
又因为0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45被9整除,所以只需使不在x的那两个数码被9整除,x就能被9整除.故01234不能同时在x中.
另一方面,4|x,所以最后两位要被4整除.
考虑a,a至少为1,且a可以为1,所以a必定为1,否则那样的x必然更大,
以此从高位确定可以确定x=10237896,（最好的情况是4不在其中,那么5必然也不在,否则可以把4放进去,所以不在其中的两个数应该就是4和5,剩下就要考虑怎么使最后两位被4整除,最后一位只有两种可能——6、8,如果是别的偶数,互换肯定更小.如果是8那么前面那位一定是6,此时x=10237968,如果是6,那么前面那位一定是9,此时x=10237896,后者更小）.
要详细只能这样了：
依题意那个数x=abcdefgh,必须且只需满足4|x且9|x
因为9|x,所以9|a+b+c+d+e+f+g+h
所以不在x的那两个数码也被9整除,且01234不能同时在x中.
另一方面,4|x,所以最后两位要被4整除.
从高位到低位确定可以确定x=10237896.