已知A>0,B>0,C>0,求证2A/(B+C)+2B/(C+A)+2C/(A+B)>=3

已知A>0,B>0,C>0,求证2A/(B+C)+2B/(C+A)+2C/(A+B)>=3
已知A>0,B>0,C>0,求证2A/(B+C)+2B/(C+A)+2C/(A+B)>=3

已知A>0,B>0,C>0,求证2A/(B+C)+2B/(C+A)+2C/(A+B)>=3
先将两边同时加3,此时只要证
2a/(b+c)+2b/(c+a)+2c/(a+b)+3>=6.
注意到 2a/(b+c)+1=(2a+b+c)/(b+c)=[(a+b)+(a+c)]/(b+c)
同理,2b/(a+c)+1=[(a+b)+(b+c)]/(a+c),2c/(a+b)+1=[(a+c)+(b+c)]/(a+b).
令 a+b=x,b+c=y,c+a=z,则只要证明
(x+y)/z+(x+z)/y+(y+z)/x>=6.
由均值不等式,x/y+y/x>=2,x/z+z/x>=2,y/z+z/y>=2.所以上式成立.
综上,原不等式成立.以上等号成立当且仅当 x=y=z,即 a=b=c.