矩形ABCD中,AB=20,BC=10.若在AC,AB上各取一点M,N,使BM+MN的值最小,求这最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 08:58:28
矩形ABCD中,AB=20,BC=10.若在AC,AB上各取一点M,N,使BM+MN的值最小,求这最小值.
矩形ABCD中,AB=20,BC=10.若在AC,AB上各取一点M,N,使BM+MN的值最小,求这最小值.
矩形ABCD中,AB=20,BC=10.若在AC,AB上各取一点M,N,使BM+MN的值最小,求这最小值.
遇到这类问题我们一般做镜像,也就是做轴对称,作B点关于AC的对称点E,连接AE交CD于F,连接CE,过E作EN垂直AB交CD于G交AC于M,连接MB,所以BM＋MN＝NM＋EM,显然EN垂直AB时值最小．
由于CEF为直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形EFC斜边高EG=6,所以EN=BC+EG=16.
当N确定时，使BM+MN的值最小，就是过N作NE垂直AC于F，使EF=NF，连接BE，则BE于AC的交点就是所求的M点
当N逐渐变化时，点E也在移动，则E点移动的轨迹组成一条线段，此线段所在的直线AE与AB关于AC对称，即角EAC=角BAC
要使BM+MN的值最小，即点B到直线AE的距离最小
即当BE垂直AE时，BM+MN的值最小，最小值就是BE的长度
延长...
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当N确定时，使BM+MN的值最小，就是过N作NE垂直AC于F，使EF=NF，连接BE，则BE于AC的交点就是所求的M点
当N逐渐变化时，点E也在移动，则E点移动的轨迹组成一条线段，此线段所在的直线AE与AB关于AC对称，即角EAC=角BAC
要使BM+MN的值最小，即点B到直线AE的距离最小
即当BE垂直AE时，BM+MN的值最小，最小值就是BE的长度
延长CB至G，使BG=BC，连接AG，过G作GH垂直AC于H
因为 BG=BC，AB垂直CG
所以 角GAB=角BAC，AG=AC
因为 角EAC=角BAC
所以 角GAC=角BAE
因为 AB=20，BG=BC=10，AB垂直CG
所以 AG=AC=10√5
因为 三角形AGC的面积=1/2AC*GH=1/2CG*AB
所以 GH=8√5
因为 AG=AC=10√5
所以 sin(∠GAC)=4/5
因为 角GAC=角BAE
所以 sin(∠BAE)=4/5
因为 AB=20，BE垂直AE
所以 BE=16
所以 BM+MN的最小值=16
收起
翻折三角形abc，得三角形ab’c做b‘n垂直于ab，b’n即bm+mn的最小值