梯形ABCD中,AD平行BC,∠B=60°,AB=BC,E在AB上,且∠DEC=60°,猜想AD、AE、BC之间的数量关系并证明.

梯形ABCD中,AD平行BC,∠B=60°,AB=BC,E在AB上,且∠DEC=60°,猜想AD、AE、BC之间的数量关系并证明.
梯形ABCD中,AD平行BC,∠B=60°,AB=BC,E在AB上,且∠DEC=60°,猜想AD、AE、BC之间的数量关系并证明.

梯形ABCD中,AD平行BC,∠B=60°,AB=BC,E在AB上,且∠DEC=60°,猜想AD、AE、BC之间的数量关系并证明.
AE+AD=BC
证明如下：
在BC上,取点F,使得BF=BE,
∵AB=BC,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形
∴△BEF是等边三角形
且AE
=AB-BE
=BC-BF
=CF
∠EFC
=180°-∠EFB
=180°-∠B
=∠EAD
∵∠CED=60°
∴∠AED
=180°-∠DEC-∠BEC
=180°-60°-∠BEC
=180°-∠B-∠BEC
=∠FCE
由AE=CF,∠EFC=∠DAE,∠AED=∠FCE,得
△DAE≌△EFC（ASA）
∴AD=EF
∵EF=BF
∴AD=BF
∴AD+AE
=BF+CF
=BC

法一：证明：过点E作EF∥AC，交BC于F，设AC与DE的交点为M
∵AB＝BC
∴∠BAC＝∠BCA
∵∠B＝60
∴等边△ABC
∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60,AB＝AC＝BC
∵EF∥AC
∴∠EFB＝∠BCA＝60
∴等边△BEF
∴EF＝BF＝BE
∵AE＝AB-BE...

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法一：证明：过点E作EF∥AC，交BC于F，设AC与DE的交点为M
∵AB＝BC
∴∠BAC＝∠BCA
∵∠B＝60
∴等边△ABC
∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60,AB＝AC＝BC
∵EF∥AC
∴∠EFB＝∠BCA＝60
∴等边△BEF
∴EF＝BF＝BE
∵AE＝AB-BE，CF＝BC-BF
∴CF＝AE
∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA＝60
∴∠AMD＝180-∠DAC-∠ADM＝180-60-∠ADM＝120-∠ADM
∵∠DEC＝60
∴∠EMC＝180-∠DEC-∠ACE＝180-60-∠ACE＝120-∠ACE
∴∠AMD＝∠EMC
∴∠ADM＝∠ACE
∵EF∥AC
∴∠CEF＝∠ACE
∴∠CEF＝∠ADM
∵∠EFC＝180-∠EFB＝180-60＝120，∠DAE＝∠BAC+∠DAC＝60+60＝120
∴∠EFC＝∠DAF
∴△ADE全等于△FEC
∴AD＝EF
∴AD＝BF
∵BC＝BF+FC
∴BC＝AD+AE
法二：有BC=AD+AE．
连接AC，过E作EF∥BC并AC于F点．
则可证△AEF为等边三角形．
即AE=EF，∠AEF=∠AFE=60°．
所以∠CFE=120°．
又AD∥BC，∠B=60°故∠BAD=120°．
又∠DEC=60°，
所以∠AED=∠FEC．
在△ADE与△FCE中，
∠EAD=∠CFE，AE=EF，∠AED=∠FEC，
所以△ADE≌△FCE．
所以AD=FC．
则BC=AD+AE．
AE+AD=BC
证明如下：
在BC上，取点F，使得BF=BE，
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形
∴△BEF是等边三角形
且AE=AB-BE=BC-BF=CF
∠EFC=180°-∠EFB=180°-∠B=∠EAD
∵∠CED=60°
∴∠AED=180°-∠DEC-∠BEC=180°-60°-∠BEC=180°-∠B-∠BEC=∠FCE
由AE=CF，∠EFC=∠DAE，∠AED=∠FCE，得
△DAE≌△EFC（ASA）
∴AD=EF
∵EF=BF
∴AD=BF
∴AD+AE=BF+CF=BC
设E在AB的中点，即AE=AB=BC。
连接AC。
由AB=BC,角B=60°，可得三角形ABC为等边三角形。
所以CE为AB边的中垂线，角ACB=60°。
所以角ACE=30°。
因为角DEC=60°，所以角AFE=角AFD=角EFG=角DFC=90°。
因为AD‖BC，所以角DAF=角ACB=60°。
所以角AED=角ADE=30°。
所以AE=AD=BC。
所以AD+AE=BC。

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