已知椭圆x=4cosθ,y=5sinθ（θ为参数）上相邻两顶点A,C,又B,D为椭圆上两个动点,且分别在直线AC两侧,求四边形ABCD面积的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/01 07:47:21
已知椭圆x=4cosθ,y=5sinθ（θ为参数）上相邻两顶点A,C,又B,D为椭圆上两个动点,且分别在直线AC两侧,求四边形ABCD面积的最大值
已知椭圆x=4cosθ,y=5sinθ（θ为参数）上相邻两顶点A,C,又B,D为椭圆上两个动点,且分
别在直线AC两侧,求四边形ABCD面积的最大值
已知椭圆x=4cosθ,y=5sinθ（θ为参数）上相邻两顶点A,C,又B,D为椭圆上两个动点,且分别在直线AC两侧,求四边形ABCD面积的最大值
详见图片嘿
要使四边形ABCD面积最大，就要使两个三角形ABC和ABD同时达到最大，也就是要求C到直线AB距离最大以及D到直线AB距离最大
那么容易知道，C、D为椭圆切点，且其切线与直线AB平行。
不妨设A(4,0),B(0,5),那么直线AB斜率为：-5/4，
直线AB方程为：y=-5/4x+5,AB长度|AB|=根号（4^2+5^2)=根号(41)
设C坐标为（x,y)=（...
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要使四边形ABCD面积最大，就要使两个三角形ABC和ABD同时达到最大，也就是要求C到直线AB距离最大以及D到直线AB距离最大
那么容易知道，C、D为椭圆切点，且其切线与直线AB平行。
不妨设A(4,0),B(0,5),那么直线AB斜率为：-5/4，
直线AB方程为：y=-5/4x+5,AB长度|AB|=根号（4^2+5^2)=根号(41)
设C坐标为（x,y)=（cosθ,sinθ）.
y'=5cosθ,x'=-4sinθ,因为平行，所以y'/x'=-5/4,即有cosθ=sinθ，所以θ=pi/4或θ=5pi/4
当C取为直线AB以上时，θ=pi/4,C=(2*根号(2),5*根号(2)/2),此时D在直线AB以下，
D(-2*根号(2),-5*根号(2)/2)
用点到直线距离公式可以求出C、D分别到AB的距离，d1,d2（自己算吧）
四边形ABCD最大面积Smax=(1/2)[|AB|*d1+|AB|*d2]
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