已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c,若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,且其图像与x轴有且只有3个交点,求实数c 的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 16:34:47
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c,若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,且其图像与x轴有且只有3个交点,求实数c 的取值范围.
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c,若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,且其图像与x轴有且只有3个交点,求实数
c 的取值范围.
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c,若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,且其图像与x轴有且只有3个交点,求实数c 的取值范围.
f'(x)=3x²-2ax+b
则-1和3是f'(x)=0的根
所以a=3,b=-9
且x=-1是极大值,x=3是极小值
又三个解则极大值大于0且极小值小于0
f(x)=x³-3x²-9x+c
所以
f(-1)=5+c>0
f(3)=-27+c
由已知可得x=-1和x=3是方程f'(x)=3x2-2ax+b=0的两根,
∴ -1+3=2a3, -1×3=b3,
∴a=3,b=-9
∴f'(x)=3(x+1)(x-3),
∴f(x)在x=-1处取得极大值,在x=3处取得极小值.
∵函数y=f(x)的图象与x轴有且只有3个交点,∴ {f(-1)>0f(3)<0.
又f(x)=x3-3x2-9x+...
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由已知可得x=-1和x=3是方程f'(x)=3x2-2ax+b=0的两根,
∴ -1+3=2a3, -1×3=b3,
∴a=3,b=-9
∴f'(x)=3(x+1)(x-3),
∴f(x)在x=-1处取得极大值,在x=3处取得极小值.
∵函数y=f(x)的图象与x轴有且只有3个交点,∴ {f(-1)>0f(3)<0.
又f(x)=x3-3x2-9x+c,∴ {-1-3+9+c>027-27-27+c<0,
解得-5<c<27.
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