f(x)=x^2+bln(x+1)f(x)=x^2+bln(x+1)第一问会了 第二问（2）若b=1时,证明对任意的正整数n,不等式∑f(1/k),1+1/2^3+1/3^3+ .+1/n^3 个人认为用数学归纳法 可是没试出来 是f(1/1)+f(1/2)+f(1/3)+......+f(1/n)

f(x)=x^2+bln(x+1)f(x)=x^2+bln(x+1)第一问会了 第二问（2）若b=1时,证明对任意的正整数n,不等式∑f(1/k),1+1/2^3+1/3^3+ .+1/n^3 个人认为用数学归纳法 可是没试出来 是f(1/1)+f(1/2)+f(1/3)+......+f(1/n)
f(x)=x^2+bln(x+1)
f(x)=x^2+bln(x+1)
第一问会了 第二问（2）若b=1时,证明对任意的正整数n,不等式∑f(1/k),1+1/2^3+1/3^3+ .+1/n^3
个人认为用数学归纳法 可是没试出来
是f(1/1)+f(1/2)+f(1/3)+......+f(1/n)

f(x)=x^2+bln(x+1)f(x)=x^2+bln(x+1)第一问会了 第二问（2）若b=1时,证明对任意的正整数n,不等式∑f(1/k),1+1/2^3+1/3^3+ .+1/n^3 个人认为用数学归纳法 可是没试出来 是f(1/1)+f(1/2)+f(1/3)+......+f(1/n)
如果是b=1该题应当是,
f(1/1)+f(1/2)+f(1/3)+.+f(1/n)>1+1/2^3+1/3^3+ .+1/n^3才对.
因为,左边
f(1/1)+f(1/2)+f(1/3)+.+f(1/n)
=∑[(1/k)^2+ln((1/k)+1)]
=∑(1/k)^2+∑ln((1/k)+1)
=∑(1/k)^2+ln∏((1/k)+1)
=∑(1/n)^2+ln[((1/1)+1)((1/2)+1)……((1/n)+1)]
=∑(1/n)^2+ln[(2/1)(3/2)……((1+n)/n)]
=∑1/n^2+ln(1+n)
右边
1+1/2^3+1/3^3+ .+1/n^3
=∑1/n^3
明显,对任何n>1均有,1/n^2>1/n^3
所以,当且仅当n=1时,
∑1/n^3=∑1/n^2而这时,ln(1+n)=ln2>0
所以,∑1/n^2+ln(1+n)>∑1/n^3对于任何正整数n均成立.
你很可能抄错的地方是,b=1,这里如果是b=-1,那么,你要求证的才成立.
这时,即相当于求
∑1/n^2-ln(1+n)<∑1/n^3 这还有点难度.

解(1):先求函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域,
由x+1＞0得x＞-1,即x∈(-1,+∞)
又 f'(x)=2x+b/(x+1)
=(2x2+2x+b)/(x+1)
=[(x+1/2)2+b-1/2]/(x+1)
∵ b＞1/2 , x∈(-1,+∞)
∴ f'(x)＞...

全部展开

解(1):先求函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域,
由x+1＞0得x＞-1,即x∈(-1,+∞)
又 f'(x)=2x+b/(x+1)
=(2x2+2x+b)/(x+1)
=[(x+1/2)2+b-1/2]/(x+1)
∵ b＞1/2 , x∈(-1,+∞)
∴ f'(x)＞0
函数f(x)在定义域上单调递增.
(2):令f'(x)=(2x2+2x+b)/(x+1)
=0
即 2x2+2x+b=0
得 x=(-2±√22-4×2b)/2×2
= (-1±√1-2b)/2
可知当 b＞1/2时x无实数解,此时函数f(x)无极值点;
而当 b=1/2时
f'(x)=2x2+2x+1/2
=2(x+1/2)2≥0 符号无变化
可知函数f(x)在b=1/2时无极值点;
当 b＜1/2时
x1=(-1-√1-2b)/2 ?
x2=(-1+√1-2b)/2＞-1
须进一步讨论b的取值范围
A.b＜0时
x1=(-1-√1-2b)/2
＜(-1-1)/2
＜-1 不在定义域范围,故只有一个解x2.
当x∈(-1,x2)时
∵ x1＜-1
-x1＞1
x＞-1
x-x1＞0
x-x2＜0
x+1＞0
∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＜0
当x∈(x2,+∞)时
则明显f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＞0
可知当b＜0时,x2=(-1+√1-2b)/2 为函数的唯一极小值点.
f(x)min=(-1+√1-2b)2/4+bln[(1+√1-2b)/2]
B.0＜b＜1/2
则 x1=(-1-√1-2b)/2＞-1
x2=(-1+√1-2b)/2＞-1
当 x∈(-1,x1)时
∵ (x-x1)＜0
(x-x2)＜0
(x+1)＞0
∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＞0
当 x∈(x1,x2)时
∵ (x-x1)＞0
(x-x2)＜0
(x+1)＞0
∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＜0
当 x∈(x2,+∞)时
∵ (x-x1)＞0
(x-x2)＞0
(x+1)＞0
∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＞0
可知当0＜b＜1/2时,
x1=(-1-√1-2b)/2 为函数的一极大值点;
x2=(-1+√1-2b)/2 为函数的一极小值点.
综上所述:
当b＜0时,x=(-1+√1-2b)/2 为函数的唯一极小值点.
当0＜b＜1/2时,函数有一个极大值点x1=(-1-√1-2b)/2;
有一个极小值点x2=(-1+√1-2b)/2.
当b≥0时,无极值点

收起

当b＜0时,x=(-1+√1-2b)/2 为函数的唯一极小值点.
当0＜b＜1/2时,函数有一个极大值点x1=(-1-√1-2b)/2;
有一个极小值点x2=(-1+√1-2b)/2.
当b≥0时,无极值点

1+1=2

该题有误：我没有搞错，你验证一下k=1,2的情况
∑(1/k)^2+ln((1/k)+1) <1+1/2^3+1/3^3+ ......+1/n^3
k=1, 左边=∑(1/k)^2+ln((1/k)+1)=1+ln2,右边=1，左边>右边
k=2, 左边=∑(1/k)^2+ln((1/k)+1)=1+ln2+1/4+ln(3/2)=5/4+ln3,
右边=1+1/2^3=9/8, 左边>右边

x=11