工科数学分析的一道证明题 诸位指教科学出版社05年7月版的工数上册正文P6附录：根号2是无理数的证明本书用反证法.设存在一个有理数P/Q满足（P/Q）*（P/Q）=2,这里我们假定p与q没有公因子.

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 09:16:23
工科数学分析的一道证明题诸位指教科学出版社05年7月版的工数上册正文P6附录：根号2是无理数的证明本书用反证法.设存在一个有理数P/Q满足（P/Q）*（P/Q）=2,这里我们假定p与q没有公因子.工科

工科数学分析的一道证明题 诸位指教科学出版社05年7月版的工数上册正文P6附录：根号2是无理数的证明本书用反证法.设存在一个有理数P/Q满足（P/Q）*（P/Q）=2,这里我们假定p与q没有公因子.
工科数学分析的一道证明题 诸位指教
科学出版社05年7月版的工数上册正文P6附录：根号2是无理数的证明
本书用反证法.
设存在一个有理数P/Q满足（P/Q）*（P/Q）=2,
这里我们假定p与q没有公因子.上式等价于
p*p=2q*q
因此p*p是一偶数；而这只有p本身是偶数时才会如此,设p=2k,代入上式,有
2k*k=q*q.
与前面一样我们得出q是偶数,这使得p与q都是偶数,与p与q没有公因子的假设相矛盾.这就证明了根号2是无理数而不是有理数.
其中“而这只有p本身是偶数时才会如此”是如何成立?难道p不能等于根号2吗?反证法不是已经假设根号2是有理数了?

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任一有理数都可以表示为p/q,这里的p和q都是整数.

有理数P/Q,构造这个有理数分子分母都是自然数

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