当抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0有四个交点时,a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 16:41:50
当抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0有四个交点时,a的取值范围
当抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0有四个交点时,a的取值范围
当抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0有四个交点时,a的取值范围
(x-a)^2+y^2=1
圆心在x轴,即抛物线的对称轴
所以一对交点关于x周对称,即横坐标相等
y^2=x
代入圆
x^2+(1-2a)x^2+a^2-1=0
当x取一个正数时,y就有两个值,即两个交点
所以要有4个交点则有两个x
所以x^2+(1-2a)x^2+a^2-1=0有两个不同的正根
有两个不同的根
判别式大于0
(1-2a)^2-4(a^2-1)>0
4a^2-4a+1-a^2+4>0
a0,x2>0
所以x1+x2=2a-1>0,a>1/2
x1*x2=a^2-1>0,a1
综上
1
x=y^2代入圆方程：
y^4+y^2-2ay^2+a^2-1=0
y^4+(1-2a)y^2+a^2-1=0
有四个解，即判别式>0
(1-2a)^2-4(a^2-1)>0
4a^2-4a+1-4a^2+4>0
4a<5
-√5/2
a^2-1≠=0 ...
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x=y^2代入圆方程：
y^4+y^2-2ay^2+a^2-1=0
y^4+(1-2a)y^2+a^2-1=0
有四个解，即判别式>0
(1-2a)^2-4(a^2-1)>0
4a^2-4a+1-4a^2+4>0
4a<5
-√5/2
a^2-1≠=0
a≠±1
又x不小于0
1-2a≤0
a≥1/2
a^2-1≥0
a≥1
又a=1时，只有3个解，因此a>1
a的取值范围为1
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题有问题，最多两个
当抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0都是关于x轴对称的
所以只要把y^2=x代入抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0有四个交点时中得到的方程有两个正根，则抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0有四个交点。
所以 x^2+（1-2a）x+a^2-1=0 有两个正根
所以判别式 （1-2a)^2-4(a^2-1)...
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当抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0都是关于x轴对称的
所以只要把y^2=x代入抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0有四个交点时中得到的方程有两个正根，则抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0有四个交点。
所以 x^2+（1-2a）x+a^2-1=0 有两个正根
所以判别式 （1-2a)^2-4(a^2-1)=5-4a>0
两根之和 （2a-1）>0
两根之积 （a^2-1)>0
so 1
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y^2=x
(x-a)^2+y^2=1
所以,得:x^2+2(1-a)x+a^2-1=0
4(1-a)^2-4(a^2-1)>0
a<(1+1)/2
a<1
另一种解法:
圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0.....(x-a)^2+y^2=1
圆心坐标为(a,0),半径为1.
从图上看,圆心必须在x轴的正方向,当a<1时,只能有2个交点.
先求a=1时,有几个交点.a=1时,圆的解析式为:(x-1)^2+y^2=1
经计算,a=1时,有3个交点,坐标为
(0,0)
(1,1)
(1,...
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另一种解法:
圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0.....(x-a)^2+y^2=1
圆心坐标为(a,0),半径为1.
从图上看,圆心必须在x轴的正方向,当a<1时,只能有2个交点.
先求a=1时,有几个交点.a=1时,圆的解析式为:(x-1)^2+y^2=1
经计算,a=1时,有3个交点,坐标为
(0,0)
(1,1)
(1,-1)
当a>1,且圆与抛物线只有2个交点时,(x-a)^2+x=1
x^2-2ax+x+a^2-1=0
x^2-x(2a-1)+(a^2-1)=0
△=4a^2-4a+1-4a^2+4=-4a+5>0
a<5/4
说明a=5/4时,只有1个x值,对应2个y,为2个交点.
当a>5/4时,无交点.
说明,有四个交点时,a的取值范围为1
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