三角形ABC内有一点D,DA=DC,BD=BA.∠BAC=2∠ACB,1当∠BAC=90时,∠DBC与∠ABC的关系?2.当∠BAC不等于90时,∠DBC与∠ABC的关系?

三角形ABC内有一点D,DA=DC,BD=BA.∠BAC=2∠ACB,1当∠BAC=90时,∠DBC与∠ABC的关系?2.当∠BAC不等于90时,∠DBC与∠ABC的关系?
三角形ABC内有一点D,DA=DC,BD=BA.∠BAC=2∠ACB,1当∠BAC=90时,∠DBC与∠ABC的关系?
2.当∠BAC不等于90时,∠DBC与∠ABC的关系?

三角形ABC内有一点D,DA=DC,BD=BA.∠BAC=2∠ACB,1当∠BAC=90时,∠DBC与∠ABC的关系?2.当∠BAC不等于90时,∠DBC与∠ABC的关系?
因为 DA=DC,所以D在AC的中垂线上.做DE垂直AC,E为AC的中点.
BD=BA,D在以B为圆心,半径AB的圆上.
做DF垂直AB,交AB于F点.
1、
∠BAC=90
∠BAC=2∠ACB
所以∠ACB =∠ABC = 45
等腰直角三角形ABC.斜边BC,直角A.
长方形AEDF.
AE = DF = 1/2 AC = 1/2 AB = 1/2 BD
所以直角三角形FDB,斜边BD,角FBD = 30度.
所以 ∠DBC = 45-30 =15度
∠ABC =45度
关系为∠ABC = 3∠DBC
2、∠BAC!=90
假设∠BAC=60,就是一个C为直角的三角形.
容易得出角DBC=30度,也满足 关系∠ABC = 3∠DBC .
因此推测这个关系始终成立.下面证明之.
【简写说明：x = ∠ACD,y = ∠DCB,z=∠BAD】
【则 x+y=∠ACB；x+z=∠CAB（因为x=∠CAD）】
因为 x+z = 2（x+y)
所以 z = y+y+ x
z = ∠ADB = ∠DBC +x+x+y （延长AD,利用外角和关系）
所以 ∠DBC = y-x
∠ABC = 180 - （∠BCA+∠BAC）= 180- 3*（x+y）
由正弦定理得：
BC:BD=sin∠BDC:sin∠DCB=sin(180-(∠DBC+sin∠DCB)):sin y =sin(y-x+y):sin y
BC:AB=sin∠CAB:sin∠ACB= sin(z+x):sin(x+y)=sin(y+y+x+x):sin(x+y)
因为BD=AB
所以sin(y-x+y):sin y = sin(y+y+x+x):sin(x+y)
sin(y-x+y) / sin y = 2sin(y+x)cos(y+x) / sin(x+y)
2 cos(x+y) sin y = sin(2y-x)
2(cosx*cosy-sinx*siny)sin y = sin(2y)cosx - cos(2y)sinx
2cosxcosysiny - 2sinx*siny*siny = 2sinycosycosx - (1-2sin²y)sinx
2sinx*siny*siny = （1- 2siny*siny）sinx
（1）当sinx!=0时：
2sinysiny = 1-2sinysiny
sin²y=1/4 所以 siny = 正负1/2； y=30度、150度.
因3(x+y)

试卷上有

因为 DA=DC，所以D在AC的中垂线上。做DE垂直AC，E为AC的中点。
BD=BA，D在以B为圆心，半径AB的圆上。
做DF垂直AB，交AB于F点。
1、
∠BAC=90
∠BAC=2∠ACB
所以∠ACB =∠ABC = 45
等腰直角三角形ABC。斜边BC，直角A。
长方形AEDF。
AE = DF = 1/2 AC ...

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因为 DA=DC，所以D在AC的中垂线上。做DE垂直AC，E为AC的中点。
BD=BA，D在以B为圆心，半径AB的圆上。
做DF垂直AB，交AB于F点。
1、
∠BAC=90
∠BAC=2∠ACB
所以∠ACB =∠ABC = 45
等腰直角三角形ABC。斜边BC，直角A。
长方形AEDF。
AE = DF = 1/2 AC = 1/2 AB = 1/2 BD
所以直角三角形FDB，斜边BD，角FBD = 30度。
所以 ∠DBC = 45-30 =15度
∠ABC =45度
关系为∠ABC = 3∠DBC
2、∠BAC！=90
假设∠BAC=60，就是一个C为直角的三角形。
容易得出角DBC=30度，也满足 关系∠ABC = 3∠DBC 。
因此推测这个关系始终成立。下面证明之。
【简写说明：x = ∠ACD，y = ∠DCB，z=∠BAD】
【则 x+y=∠ACB；x+z=∠CAB（因为x=∠CAD）】
因为 x+z = 2（x+y)
所以 z = y+y+ x
z = ∠ADB = ∠DBC +x+x+y （延长AD，利用外角和关系）
所以 ∠DBC = y-x
∠ABC = 180 - （∠BCA+∠BAC）= 180- 3*（x+y）
由正弦定理得：
BC:BD=sin∠BDC:sin∠DCB=sin(180-(∠DBC+sin∠DCB)):sin y =sin(y-x+y):sin y
BC:AB=sin∠CAB:sin∠ACB= sin(z+x):sin(x+y)=sin(y+y+x+x):sin(x+y)
因为BD=AB
所以sin(y-x+y):sin y = sin(y+y+x+x):sin(x+y)
sin(y-x+y) / sin y = 2sin(y+x)cos(y+x) / sin(x+y)
2 cos(x+y) sin y = sin(2y-x)
2(cosx*cosy-sinx*siny)sin y = sin(2y)cosx - cos(2y)sinx
2cosxcosysiny - 2sinx*siny*siny = 2sinycosycosx - (1-2sin²y)sinx
2sinx*siny*siny = （1- 2siny*siny）sinx
（1）当sinx!=0时：
2sinysiny = 1-2sinysiny
sin²y=1/4 所以 siny = 正负1/2； y=30度、150度。
因3(x+y)<180,所以y=30度。
∠DBC = y-x = 30-x
∠ABC = 180- 3*（x+y）180 - 3x - 3*30 = 90 -3x = 3*（30-x）=3∠DBC。
（2）当sinx = 0时， x =0度、180度，说明ACD在一条直线上，D点不在三角形内。
（即不满足题目条件。实际上，即使D在AC中点，两角也满足3倍关系：此时角A=60度。）
证明完毕。

收起

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