已知a、b为实数,且b>a>c 其中c为自然数对数的底,求证a的b次方 >b的a次方

已知a、b为实数,且b>a>c 其中c为自然数对数的底,求证a的b次方 >b的a次方
已知a、b为实数,且b>a>c 其中c为自然数对数的底,求证a的b次方 >b的a次方

已知a、b为实数,且b>a>c 其中c为自然数对数的底,求证a的b次方 >b的a次方
首先b和a都是大于自然对数的底c的,那么它们显然都大于1,取对数后大于0.那么要证a^b>b^a,只要证blna>alnb(两边取自然对数),只要证lna/a>lnb/b.考虑函数f(x)=lnx/x,求导f'(x)=1/x^2-lnx/x^2=(1-lnx)/x^2,当lnx>1时,f'(x)a>c,所以有lnb>lna>1,有f(b)lnb/b,由此可证原命题

如果你学过导数的话，这个就比较容易理解了。
设f(x)=x^a g(x)=a^x
分别对这两个函数求导数，当x=a时f(a)=g(a)，所以当x>a时两个导数哪个更大
哪个函数就更大。于是再令x=b，就把问题解决了。
坦白说我忘记导数如何求，但我想问题就该这么解决。...

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如果你学过导数的话，这个就比较容易理解了。
设f(x)=x^a g(x)=a^x
分别对这两个函数求导数，当x=a时f(a)=g(a)，所以当x>a时两个导数哪个更大
哪个函数就更大。于是再令x=b，就把问题解决了。
坦白说我忘记导数如何求，但我想问题就该这么解决。

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a^b>b^a 两边取对数 再化简