高一三角函数应用题某村准备修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠的接触面.若水渠的横断面设计定制为a dm^3,渠深为8 dm,则水渠的倾角为多少是,方能使修建成本
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 05:48:59
高一三角函数应用题某村准备修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠的接触面.若水渠的横断面设计定制为a dm^3,渠深为8 dm,则水渠的倾角为多少是,方能使修建成本
高一三角函数应用题
某村准备修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠的接触面.若水渠的横断面设计定制为a dm^3,渠深为8 dm,则水渠的倾角为多少是,方能使修建成本最低?
高一三角函数应用题某村准备修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠的接触面.若水渠的横断面设计定制为a dm^3,渠深为8 dm,则水渠的倾角为多少是,方能使修建成本
如图,由几何关系一些边长度已经标出
设倾角为θ,AB长度为x
面积S=a=2*（1/2*8*8/tanθ）+8x
可得x=a/8-8/tanθ
水与水渠的接触面
y=2*8/sinθ+x
=16/sinθ+a/8-8/tanθ
=6/sinθ-8/tanθ+a/8
其中16/sinθ-8/tanθ=8（2/sinθ-1/tanθ）
而2/sinθ-1/tanθ
=2/sinθ-cosθ/sinθ
=(2-cosθ)/sinθ
=(2-cosθ)/√(1-cos²θ)
=√[(2-cosθ)²/(1-cos²θ)]
=√[(cos²θ-4cosθ+4)/(1-cos²θ)]
=√[(cos²θ-1-4cosθ+5)/(1-cos²θ)]
=√[(4cosθ-5)/(cos²θ-1)-1]
其中(4cosθ-5)/(cos²θ-1)的倒数
(cos²θ-1)/(4cosθ-5)
=[(1/16)(4cosθ-5)²+(5/8)(4cosθ-5)+9/16]/(4cosθ-5)
=(1/16)(4cosθ-5)+(9/16)/(4cosθ-5)+5/8
=-[(1/16)(5-4cosθ)+(9/16)/(5-4cosθ)]+5/8
此式中(5-4cosθ)恒大于0,可用基本不等式
(1/16)(5-4cosθ)+(9/16)/(5-4cosθ)≥3/8
仅当(5-4cosθ)²=9即cosθ=1/2时
(1/16)(5-4cosθ)+(9/16)/(5-4cosθ)有最小值
即cosθ=1/2时
-[(1/16)(5-4cosθ)+(9/16)/(5-4cosθ)]+5/8有最大值
即cosθ=1/2时(cos²θ-1)/(4cosθ-5)有最大值
即cosθ=1/2时(4cosθ-5)/(cos²θ-1)有最小值
即cosθ=1/2时2/sinθ-1/tanθ=√[(4cosθ-5)/(cos²θ-1)-1]有最小值
水与水渠的接触面y=16/sinθ-8/tanθ+a/8有最小值
∴cosθ=1/2,θ=60°
