已知函数f（x）=ln（ [e^x-1]/x)且数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(an)求证｛an｝单调递减且an>0

已知函数f（x）=ln（ [e^x-1]/x)且数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(an)求证｛an｝单调递减且an>0
已知函数f（x）=ln（ [e^x-1]/x)且数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(an)求证｛an｝单调递减且an>0

已知函数f（x）=ln（ [e^x-1]/x)且数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(an)求证｛an｝单调递减且an>0

证明：

          f (x)   =  ln（ [e^x-1]/x）定义域是 {  x>0  或者 x<0 }

           f ' (x) =               【 x* (  e^x  )   -  e^x  + 1】/ 【x* ( e^x  -  1 )】

          因为a1=1>0

          现在只需要讨论 f ' (x)在    x>0时   的正负

          在  x>0 时 分母 x* ( e^x - 1 ) > 0

          令 g(x) = x* (  e^x  )-  e^x  + 1

              且  g ' (x) =[ x* (  e^x  )  -  e^x  + 1] ' = x* (  e^x  )  > 0 【当x>0 时】

              因此g(x)在 x>0时 单调递增 

              那么有 g(x) > g(0) = 0 【x>0 时】

           所以 f ' (x) = g(x) /【x* ( e^x  -  1 )】> 0

           所以 f (x)在x>0时 递增

           且    f (x)  >  lim(x趋于0时)f (x) = 0   【当x>0时 】

          所以  an>0

2.         

         再证｛an｝单调递减

        令h(x)  = f(x) - x  =  ln（ [e^x-1]/x）- x=  ln  [   (e^x-1) / （x* e^x） ] 【当x>0 时】

         h ' (x)  =                         【当x>0 时】

        再按照1的方法可知

         h ' (x) < 0  【当x>0 时】

        因此h(x)在x>0 时递减

                h (x)  <   lim(x趋于0时)h (x) = 0 【当x>0 时】

3.

       所以a(n+1)  - an  =  f(an) - an  =  h (an) < 0

       所以｛an｝单调递减

PS:

          h ’（x）实在不想写了 ,打公式打得要吐了.

          你自己求出来写上就可以了

证明：

          f (x)   =  ln（ [e^x-1]/x）定义域是 {  x>0  或者 x<0 }

           f ' (x) =               【 x* (  e^x  )   -  e^x  + 1】/ 【x* ( e^x  -  1 )】

          因为a1=1>0

          现在只需要讨论 f ' (x)在    x>0时   的正负

          在  x>0 时 分母 x* ( e^x - 1 ) > 0

          令 g(x) = x* (  e^x  )-  e^x  + 1

              且  g ' (x) =[ x* (  e^x  )  -  e^x  + 1] ' = x* (  e^x  )  > 0 【当x>0 时】

              因此g(x)在 x>0时 单调递增 

              那么有 g(x) > g(0) = 0 【x>0 时】

           所以 f ' (x) = g(x) /【x* ( e^x  -  1 )】> 0

           所以 f (x)在x>0时 递增

           且    f (x)  >  lim(x趋于0时)f (x) = 0   【当x>0时 】

          所以  an>0

2.         

         再证｛an｝单调递减

        令h(x)  = f(x) - x  =  ln（ [e^x-1]/x）- x=  ln  [   (e^x-1) / （x* e^x） ] 【当x>0 时】

         h ' (x)  =                         【当x>0 时】

        再按照1的方法可知

         h ' (x) < 0  【当x>0 时】

        因此h(x)在x>0 时递减

                h (x)  <   lim(x趋于0时)h (x) = 0 【当x>0 时】

3.

       所以a(n+1)  - an  =  f(an) - an  =  h (an) < 0

       所以｛an｝单调递减

PS:

          h ’（x）实在不想写了 ，打公式打得要吐了。

          你自己求出来写上就可以了

F'（x）= 2 ^ x * LN2 +1 /（1 + x ^ 2）
显然，对任意x∈R是严格大于0
函数f（x）的严格单调递增
A（N +1）= A（N）/（-A（N）），对任意n∈N *

变形（N +1）-2 * A（N ）的第（n +1）（n）的= 0，1 /（n）的-1 /（第（n +1））-2 = 0,1 / A（N +1）= 1 /（N...

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F'（x）= 2 ^ x * LN2 +1 /（1 + x ^ 2）
显然，对任意x∈R是严格大于0
函数f（x）的严格单调递增
A（N +1）= A（N）/（-A（N）），对任意n∈N *

变形（N +1）-2 * A（N ）的第（n +1）（n）的= 0，1 /（n）的-1 /（第（n +1））-2 = 0,1 / A（N +1）= 1 /（N） - 2
1 / A（N）= 1 /（1）-2 *（N-1）
（1）= 1/4023，和n = 2012（2012）= 1
> F（A（2012））= F（1）= 2 +π/ 4


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