不要用微积分解把三个相同的光滑圆柱堆砌在光滑水平面上,撤去外力,让它自由运动,求上面那个圆柱落地时的速度V和落地所需时间T（用圆柱半径R来表示）没学过高等数学,有没有不用微积分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 22:43:47
不要用微积分解把三个相同的光滑圆柱堆砌在光滑水平面上,撤去外力,让它自由运动,求上面那个圆柱落地时的速度V和落地所需时间T（用圆柱半径R来表示）没学过高等数学,有没有不用微积分
不要用微积分解
把三个相同的光滑圆柱堆砌在光滑水平面上,撤去外力,让它自由运动,求上面那个圆柱落地时的速度V和落地所需时间T（用圆柱半径R来表示）
没学过高等数学,有没有不用微积分的解法?
我是指三个圆柱的圆心构成正三角形的顶点那样堆砌，也就是说任意2个圆柱都相互接触，
不是1楼那样
不要用微积分解把三个相同的光滑圆柱堆砌在光滑水平面上,撤去外力,让它自由运动,求上面那个圆柱落地时的速度V和落地所需时间T（用圆柱半径R来表示）没学过高等数学,有没有不用微积分
首先,可以计算初始状态下最上面那个圆柱的质心高度h=(1+√3)R.
三个圆柱堆砌在一起,当撤去外力之后,因为下面两个圆柱受力状况一直是相同的,或者说,水平方向受力一直就是等大反向的,所以最后它们具有的动能是相同的.通过受力分析,初始时刻底下的圆柱水平方向受力F=Gcos30°sin30°=0.5mgsin60°,而这个力是按sinθ,θ∈[60°,180°]变化的,加速度a=F/m=0.5gsinθ.
而最上面那个圆柱水平方向受力是平衡的,所以它会竖直下落,而且接触面都光滑,所以竖直方向不存在摩擦力,只有下边两个圆柱支撑力竖直方向上的分力F’.分析初始状态：F’=-2Gcos30°cos30°=-2mgcos²30°=-mg(1+cos60°),【负号是力的方向,在图中可以看出.】
同理可看出这个力是按cosθ,θ∈[60°,180°]变化的,加速度a’=-F’/m=-g(1+cosθ).
可以用图解法,由于你没学过微积分,用图解法求出下边两个圆柱的动能Ek后,就可以求到上边那个圆柱的速度了.
【图解】很明显,如图,下边的圆柱最后获得的动能等于水平力做功Ek=FS=0.5Fat²=0.5ma²t²=0.5m(gtsinθ)²；由于是两个圆柱情况相同,所以,最终下边的圆柱获得的总动能是2Ek=m(gt)²sin²θ；而上边的圆柱的动能Ek’=F’h=0.5F’a’(t)²=0.5m[g(1+cosθ)t]²=0.5m(gt)²(1+cosθ)². 上面的圆柱所获得的最终动能也就等于总能量mgh的0.5[(蓝+紫)/(蓝+紫+紫+红)]²
而且h=0.5a’t²,由此也可求出t.