如图,分别以△ABC的边AB,AC向外作等边三角形ABD和ACE,线段BE与CD相交与点连接OA,求证OA平分角DOE
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 23:46:44
如图,分别以△ABC的边AB,AC向外作等边三角形ABD和ACE,线段BE与CD相交与点连接OA,求证OA平分角DOE
如图,分别以△ABC的边AB,AC向外作等边三角形ABD和ACE,线段BE与CD相交与点
连接OA,求证OA平分角DOE
如图,分别以△ABC的边AB,AC向外作等边三角形ABD和ACE,线段BE与CD相交与点连接OA,求证OA平分角DOE
证明:过点A作AM⊥BE于M,AN⊥CD于N
∵等边三角形△ABD和△ACE
∴AD=AB,AE=AC,∠ABD=∠ADB=∠BAD=∠CAE=60
∵∠BAE=∠BAC+∠CAE,∠DAC=∠BAC+∠BAD
∴∠BAE=∠DAC
∴△ABE≌△ADC (SAS)
∴BE=CD,S△ABE=S△ADC
∵AM⊥BE,AN⊥CD
∴S△ABE=BE×AM/2,S△ADC=CD×AN/2
∴BE×AM/2=CD×AN/2
∴AM=AN
∴OA平分∠DOE
方法1,用四点共圆证
证明:因为三角形ABD是等边三角形
所以角BAD=角ABD=60度
AD=AB
因为三角形ACE是等边三角形
所以角CAE=角ACE=60度
AC=AE
因为角DAC=角BAD+角BAC=60+角BAC
角BAE=角BAC+角CAE=60+角BAC
所以角DAC=角BAE
所以三角形DAC和三角形...
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方法1,用四点共圆证
证明:因为三角形ABD是等边三角形
所以角BAD=角ABD=60度
AD=AB
因为三角形ACE是等边三角形
所以角CAE=角ACE=60度
AC=AE
因为角DAC=角BAD+角BAC=60+角BAC
角BAE=角BAC+角CAE=60+角BAC
所以角DAC=角BAE
所以三角形DAC和三角形BAE全等(SAS)
所以角ADC=角ABE
角AEB=角ACD
所以A.D.B.O四点共圆和A,O.C.E四点共圆
所以角AOD=角ABD=60度
角AOE=角ACE=60度
所以角AOD=角AOE=60度
所以OA平分角DOE
方法2、用面积法证
证明:过点A分别作AM垂直DC于M .AN垂直BE于N
所以S三角形ADC=1/2*DC*AM
S三角形ABE=1/2*BE*AN
角AMO=角ANO=90度
因为三角形ABD是等边三角形
所以AD=AB
角BAD=60度
因为三角形ACE是等边三角形
所以AC=AE
角ACE=60度
因为角DAC=角BAD+角BAC=60+角BAC
角BAE=角BAC+角CAE=60+角BAC
所以角DAC=角BAE
所以三角形DAC和三角形BAE全等(SAS)
所以S三角形DAC=S三角形BAE
DC=BE
所以AM=AN
因为OA=OA
所以直角三角形OAM和直角三角形OAN全等(HL)
所以角AOM=角AON
所以OA平分角DOE
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