正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=2,AA1=2由顶点B沿棱柱侧面经过AA1到顶点C1最短线与AA1交点为M求平面C1MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 08:43:56
正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=2,AA1=2由顶点B沿棱柱侧面经过AA1到顶点C1最短线与AA1交点为M求平面C1MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小
正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=2,AA1=2由顶点B沿棱柱侧面经过AA1到顶点C1最短线与AA1交点为M求平面C1MB与平面
ABC所成二面角（锐角）的大小
正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=2,AA1=2由顶点B沿棱柱侧面经过AA1到顶点C1最短线与AA1交点为M求平面C1MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小
这是高中立体几何的题目.对于高中的立体几何,最重要的是三垂线定理的灵活运用（解答题或者证明题都是这样）.由于高中毕业很久了,所以就不讲系统的三垂线怎么作了,楼主你做题的时候自己归纳一下,然后再去问问数学老师,他们的更加全面和实用.下面针对这道题目给出解答吧.
关键是找到我们要找的那个垂线.
首先确定M的位置,很容易知道M就是AA1的中点（对于这种线段最短问题我们最常用的就是转动平面让他们在同一平面,然后尽量转换成平面两点间的距离最短问题）.
其次来寻找平面C1MB和平面ABC的交线（这一步是这种问题的关键点,需要楼主你仔细总结和体会,争取能灵活运用）.在ACC1A1平面中,延长C1M,CA,两者相较于一点D,链接BD,这就是平面C1MB和平面ABC的交线.
现在来做出二面角并求解.容易知道AD=AB=2（只要把平面AA1B1B沿着AA1转动转到和ACC1A1在同一平面上就会发现B和D是重合的）,因此三角形ABD是等腰三角形.同样地,三角形MBD也是等腰三角形（MB=5^0.5=MD）,现在明了了,两个三角形都是等腰三角形,并且M点在ABC上面的投影就是A,好了,直接过M,A分别向BD作垂线,容易证明他们和BD是交在同一点的,不妨设为E,E是BD的中点,至此,我们只需要求出三角形MAE中的两条边就可以得出二面角的大小了.
容易知道：AM=1,AE=AD*sin30°=2*0.5=1 ,所以待求二面角为45°
当然,楼上的运用投影的观点来求解也可以,这个是一个结论,对于填空、选择之类的题目这种方法很好,但是如果对于证明题什么的,如果上面的结论不是大纲给出的结论（高中毕业好多年了,不知道现在的要求）,那么你必须要简略证明一下,要不然会被扣分的.投影定理：两个相交平面,其中一个平面上的任意一个图形面积为S,他在另外一个平面上的投影图形的面积为S1,那么两者之间有如下关系：S*cosA=S1,cosA就是两个平面的二面角.
ABC的面积为根号3（边长为2的正三角形)
C1MB的三边长为2*根号2，根号5，根号5，面积为根号6
所以两面角的余弦为：根号3除以根号6=（1/2)根号2
两面角为45度
先把平面ABB1A1和平面ACC1A1展开，展开图中，AA1为矩形BCC1B1的中线，易得M点为AA1的中点。
AM=1，CC1=2，BM=根号5
易得所成二面角（锐角）的大小，两面角为45度